Esercizio probabilità
Durante un quiz televisivo ad un concorrente vengono poste 5 domande. Assumendo che le risposte siano
indipendenti e che ogni risposta sia corretta con probabilità 0.6, calcolare
1) Il valore atteso e la varianza del numero di risposte corrette
2) La probabilità che le risposte siano tutte sbagliate
3) La probabilità che almeno una risposta sia corretta
4) La probabilità che tre risposte siano corrette e due sbagliate
1) il valore atteso si dovrebbe calcolare così (1 . 0,6 ) + (2 . 0,6) + (3 . 0,6) + (4 . 0,6) + (5 . 0,6) = 9
2) la probabilità che siano tutte sbagliate dovrebbe essere sempre 0,6
3) la probabilità che almeno una sia corretta è 4/5 . 1/5 = 0,16
4) 3/5 . 2/5 = 0,24
indipendenti e che ogni risposta sia corretta con probabilità 0.6, calcolare
1) Il valore atteso e la varianza del numero di risposte corrette
2) La probabilità che le risposte siano tutte sbagliate
3) La probabilità che almeno una risposta sia corretta
4) La probabilità che tre risposte siano corrette e due sbagliate
1) il valore atteso si dovrebbe calcolare così (1 . 0,6 ) + (2 . 0,6) + (3 . 0,6) + (4 . 0,6) + (5 . 0,6) = 9
2) la probabilità che siano tutte sbagliate dovrebbe essere sempre 0,6
3) la probabilità che almeno una sia corretta è 4/5 . 1/5 = 0,16
4) 3/5 . 2/5 = 0,24
Risposte
"bubas":
calcolare
1) Il valore atteso e la varianza del numero di risposte corrette
$E(X)=n\cdotp=5\cdot0,6=3$
$V(X)=npq=5\cdot0,6\cdot0,4=1,20$
"bubas":
calcolare
2) La probabilità che le risposte siano tutte sbagliate
$P(X=0)=((5),(0))0,6^0\cdot0,4^5=1,02%$
"bubas":
calcolare
3) La probabilità che almeno una risposta sia corretta
$1-P(X=0)=98,98%$
"bubas":
calcolare
4) La probabilità che tre risposte siano corrette e due sbagliate
$P(X=3)=((5),(3))0,6^3\cdot0,4^2=34,56%$
mi spieghi [se vuoi, ovviamente] che studi fai e su che libri studi?
giornalismo e il libro me lo hanno appena cambiato, studio sulle slide della professoressa.
ho svolto l'esercizio in quel modo perchè pensavo che il procedimento per risolverlo fosse lo stesso di questo esercizio "Si consideri la variabile casuale Y i cui valori e rispettive probabilita' sono indicati di seguito : y -2 -1 0 1 2 3 probabilità 0.02 0.03 0.40 0.25 0.18 0.12" anche qua mi chiedeva il valore atteso e la formula pensavo fosse la stessa.
ho svolto l'esercizio in quel modo perchè pensavo che il procedimento per risolverlo fosse lo stesso di questo esercizio "Si consideri la variabile casuale Y i cui valori e rispettive probabilita' sono indicati di seguito : y -2 -1 0 1 2 3 probabilità 0.02 0.03 0.40 0.25 0.18 0.12" anche qua mi chiedeva il valore atteso e la formula pensavo fosse la stessa.
va beh dai .... te lo faccio vedere io
supponiamo di avere 3 domande a cui si può rispondere Giusto (1) o Sbagliato (0) e supponiamo che la probabilità di rispondere giusto o sbagliato sia uguale (quindi $1/2$).
Lo spazio degli eventi possibili è questo:
0-0-0
1-0-0
0-1-0
0-0-1
1-1-0
1-0-1
0-1-1
1-1-1
come vedi sono 8 casi.... quindi la probabilità di ogni evento è $1/8$
vedi anche che, i casi con una risposta giusta sono 3....quindi la probabilità di avere una risposta giusta su 3 è $3/8$
quindi possiamo costruire la nostra variabile casuale in questo modo:
$X={{: ( 0 , 1 , 2 , 3 ),( 1/8 , 3/8 , 3/8 , 1/8 ) :}$
ora sì che puoi calcolare media e varianza come intendevi fare tu....
come puoi intuire....fare un ragionamento così quando $n$ diventa più grande e quando la probabilità di rispondere giusto o sbagliato non è uguale...diventa un disastro.
Fortunatamente qualcuno ha già studiato il problema e ci fornisce una cosa che si chiama "distribuzione binomiale" che possiamo usare in questo caso e in tutti quei casi che ci chiedono "numero di successi su tot prove" (a condizione che la probabilità non cambi durante le estrazioni o le risposte, ovvero che il campionamento sia "con reimmissione")
La formula di questa distribuzione è:
$((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)$
dove $((n),(k))=(n!)/((k!)(n-k)!)$
supponiamo di avere 3 domande a cui si può rispondere Giusto (1) o Sbagliato (0) e supponiamo che la probabilità di rispondere giusto o sbagliato sia uguale (quindi $1/2$).
Lo spazio degli eventi possibili è questo:
0-0-0
1-0-0
0-1-0
0-0-1
1-1-0
1-0-1
0-1-1
1-1-1
come vedi sono 8 casi.... quindi la probabilità di ogni evento è $1/8$
vedi anche che, i casi con una risposta giusta sono 3....quindi la probabilità di avere una risposta giusta su 3 è $3/8$
quindi possiamo costruire la nostra variabile casuale in questo modo:
$X={{: ( 0 , 1 , 2 , 3 ),( 1/8 , 3/8 , 3/8 , 1/8 ) :}$
ora sì che puoi calcolare media e varianza come intendevi fare tu....
come puoi intuire....fare un ragionamento così quando $n$ diventa più grande e quando la probabilità di rispondere giusto o sbagliato non è uguale...diventa un disastro.
Fortunatamente qualcuno ha già studiato il problema e ci fornisce una cosa che si chiama "distribuzione binomiale" che possiamo usare in questo caso e in tutti quei casi che ci chiedono "numero di successi su tot prove" (a condizione che la probabilità non cambi durante le estrazioni o le risposte, ovvero che il campionamento sia "con reimmissione")
La formula di questa distribuzione è:
$((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)$
dove $((n),(k))=(n!)/((k!)(n-k)!)$
ho fatto il classico e non pni, so che è un bagno di sangue ma è l'ultimo esame e devo tener duro...per quanto riguarda l'esercizio ho capito, stavo provando a svolgerne uno nel frattempo con una variabile binomiale ti faccio vedere se ho fatto bene :
In un collettivo di famiglie la proporzione di famiglie che abitano nella casa di loro proprieta'
è pari a 0.7. Supponendo di estrarre casualmente da tale collettivo 30 famiglie calcolare
1. la probabilita' di ottenerne 15 che abitano nella casa di loro proprieta';
2. la probabilita' di ottenerne pi`u di 20 che abitano nella casa di loro proprieta'.
1) P(Y = 15) = (30 15) 0.7^15 (1 − 0.7)^30−15 = 30! /15! (30 − 15)! . 0,7^15 0,3^15 = 0.01057
2) P (Y>20) la formula dovrebbe esser questa ( 30 y ) 0,7 ^Y (1-0,7) ^ 30-y ho evitato di inserire i calcoli sennò ci sto fino a domattina... il risultato mi viene 0,5888
In un collettivo di famiglie la proporzione di famiglie che abitano nella casa di loro proprieta'
è pari a 0.7. Supponendo di estrarre casualmente da tale collettivo 30 famiglie calcolare
1. la probabilita' di ottenerne 15 che abitano nella casa di loro proprieta';
2. la probabilita' di ottenerne pi`u di 20 che abitano nella casa di loro proprieta'.
1) P(Y = 15) = (30 15) 0.7^15 (1 − 0.7)^30−15 = 30! /15! (30 − 15)! . 0,7^15 0,3^15 = 0.01057
2) P (Y>20) la formula dovrebbe esser questa ( 30 y ) 0,7 ^Y (1-0,7) ^ 30-y ho evitato di inserire i calcoli sennò ci sto fino a domattina... il risultato mi viene 0,5888
ok, quindi per ricapitolare : Un esperimento consiste nel lancio di 4 monete equilibrate. Determinare la probabilità
associata agli eventi: A) tutte e 4 le monete presentano la faccia testa, B) almeno una
moneta presenta la faccia testa.
la probabilità testa e croce è la medesima quindi 0,5 . a) 0,5^4 perchèm si eleva la probabilità dell'evento in questo caso al numero di tentativi b) 1 - (0,5)^4 ossia 1 meno la probabilità che facciano tutte croce.
Una moneta non equilibrata ha una probabilità pari a 0,2 di presentare la faccia “testa”.
Determinare la probabilità che lanciando 5 volte la moneta la faccia testa compaia per la
prima volta: A) al primo lancio, B) al terzo, C) al quinto.
a) 0,2 perchè la sua probabilità
b) la probabilità che sia croce dovrebbe essere 0,8 quindi 0,8^2 . 0,2
c) 0,8^4 . 0,2
In una moneta non equilibrata la probabilità di ottenere la faccia testa è 0,25. Determinare
la probabilità che lanciando 5 volte la moneta si ottengano i seguenti risultati: A) tutte croci,
B) testa al primo lancio e croce nei 4 lanci successivi, C) una testa e 4 croci a prescindere
dall’ordine.
a) 0,75^5
b)0,25 . 075^4
c) uguale?
associata agli eventi: A) tutte e 4 le monete presentano la faccia testa, B) almeno una
moneta presenta la faccia testa.
la probabilità testa e croce è la medesima quindi 0,5 . a) 0,5^4 perchèm si eleva la probabilità dell'evento in questo caso al numero di tentativi b) 1 - (0,5)^4 ossia 1 meno la probabilità che facciano tutte croce.
Una moneta non equilibrata ha una probabilità pari a 0,2 di presentare la faccia “testa”.
Determinare la probabilità che lanciando 5 volte la moneta la faccia testa compaia per la
prima volta: A) al primo lancio, B) al terzo, C) al quinto.
a) 0,2 perchè la sua probabilità
b) la probabilità che sia croce dovrebbe essere 0,8 quindi 0,8^2 . 0,2
c) 0,8^4 . 0,2
In una moneta non equilibrata la probabilità di ottenere la faccia testa è 0,25. Determinare
la probabilità che lanciando 5 volte la moneta si ottengano i seguenti risultati: A) tutte croci,
B) testa al primo lancio e croce nei 4 lanci successivi, C) una testa e 4 croci a prescindere
dall’ordine.
a) 0,75^5
b)0,25 . 075^4
c) uguale?
"bubas":
In una moneta non equilibrata la probabilità di ottenere la faccia testa è 0,25. Determinare
la probabilità che lanciando 5 volte la moneta si ottengano i seguenti risultati: C) una testa e 4 croci a prescindere
dall’ordine.
c) uguale?
tutto giusto tranne questo
$((5),(1))0,25\cdot0,75^4$
non è uguale al precedente perché è moltiplicato per 5
"tommik":
quindi?
eccolo è come l'hai svolto tu!
dovrebbe esser così allora
( 5 1) 0,25 . 0,75^4
ci metto un po' prima di riaggiornare pagina
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