Esercizio probabilità
Ciao a tutti!
Sto studiando probabilità, ma sbatto continuamente addosso ai soliti dubbi che non riesco a risolvere. Ecco un esercizio che, sicuramente, risulterà banale a tutti voi ma io non riesco a risolvere.
a) Supponete che A e B siano due squadre ugualmente forti. E' più probabile che A batta B in 3 incontri su 4 o in 5 su 7?
Io lo risolverei ponendo come spazio campionario: $\Omega = {(\omega_1,..., \omega_4) | w_i \in {0, 1} \forall i = {1, 2, 3, 4}$ e $\omega_4 = 0$ se $\omega_1 = \omega_2 = \omega_3 = 1}$
Se in $\omega_i$ c'è il valore 1, vuol dire che la squadra A ha battuto la B, altrimenti il contrario.
Ho messo l'ultima collezione, perché se la squadra A vince le prime 3 partite, la quarta non viene giocata.
$|\Omega| = 2 ^ 4 - 1$
Poiché le due squadre sono ugualmente forti, ogni evento elementare è equiprobabile e ha probabilità $1 / 15$.
Sia D l'evento che esprime la vittoria di A su B per 3 incontri su 4, trovo la cardinalità di D contando quante siano le possibili posizioni in cui scrivere un 1 nelle n-uple ordinate, cioè:
$|D| = C_{4, 3} = ((4),(3)) = 4$
Di conseguenza $P(D) = 4 / 15$.
Ripeto il discorso nel caso in cui le partite vinte debbano essere 5 su 7. Elimino dallo spazio campionario, per ottenerne la cardinalità, i casi in cui le prime 6 partite vengano vinte da A, cioè le n-uple che presentano 6 "1" nelle prime posizioni.
$|\Omega| = 2 ^ 7 - ((7),(6)) = 128 - 7 = 121$.
Sia E l'evento che esprime la vittoria di A su B per 5 incontri su 7, trovo la cardinalità di E contando quante siano le possibili posizioni in cui scrivere un 1 (per 5 volte) nelle n-uple ordinate, cioè:
$|E| = C_{7, 5} = ((7),(5)) = 21$
Di conseguenza $P(E) = 21 / 121$ e $P(D) > P(E)$.
b) Supponete ora che la probabilità che A batta B in un singolo incontro sia p, e rispondete alla domanda a). La risposta dipende da p?
Ho pensato di affrontare la domanda in questo modo:
$P(D) = p^3 * (1 - p)$
mentre
$P(E) = p^5 * (1-p)^2$
A questo punto farei un confronto tra i due valori ottenuti.
Il problema è che non sono convinta di nessuno dei ragionamenti fatti sinora e vorrei un vostro parere prima di proseguire!
Grazie a tutti.
Sto studiando probabilità, ma sbatto continuamente addosso ai soliti dubbi che non riesco a risolvere. Ecco un esercizio che, sicuramente, risulterà banale a tutti voi ma io non riesco a risolvere.
a) Supponete che A e B siano due squadre ugualmente forti. E' più probabile che A batta B in 3 incontri su 4 o in 5 su 7?
Io lo risolverei ponendo come spazio campionario: $\Omega = {(\omega_1,..., \omega_4) | w_i \in {0, 1} \forall i = {1, 2, 3, 4}$ e $\omega_4 = 0$ se $\omega_1 = \omega_2 = \omega_3 = 1}$
Se in $\omega_i$ c'è il valore 1, vuol dire che la squadra A ha battuto la B, altrimenti il contrario.
Ho messo l'ultima collezione, perché se la squadra A vince le prime 3 partite, la quarta non viene giocata.
$|\Omega| = 2 ^ 4 - 1$
Poiché le due squadre sono ugualmente forti, ogni evento elementare è equiprobabile e ha probabilità $1 / 15$.
Sia D l'evento che esprime la vittoria di A su B per 3 incontri su 4, trovo la cardinalità di D contando quante siano le possibili posizioni in cui scrivere un 1 nelle n-uple ordinate, cioè:
$|D| = C_{4, 3} = ((4),(3)) = 4$
Di conseguenza $P(D) = 4 / 15$.
Ripeto il discorso nel caso in cui le partite vinte debbano essere 5 su 7. Elimino dallo spazio campionario, per ottenerne la cardinalità, i casi in cui le prime 6 partite vengano vinte da A, cioè le n-uple che presentano 6 "1" nelle prime posizioni.
$|\Omega| = 2 ^ 7 - ((7),(6)) = 128 - 7 = 121$.
Sia E l'evento che esprime la vittoria di A su B per 5 incontri su 7, trovo la cardinalità di E contando quante siano le possibili posizioni in cui scrivere un 1 (per 5 volte) nelle n-uple ordinate, cioè:
$|E| = C_{7, 5} = ((7),(5)) = 21$
Di conseguenza $P(E) = 21 / 121$ e $P(D) > P(E)$.
b) Supponete ora che la probabilità che A batta B in un singolo incontro sia p, e rispondete alla domanda a). La risposta dipende da p?
Ho pensato di affrontare la domanda in questo modo:
$P(D) = p^3 * (1 - p)$
mentre
$P(E) = p^5 * (1-p)^2$
A questo punto farei un confronto tra i due valori ottenuti.
Il problema è che non sono convinta di nessuno dei ragionamenti fatti sinora e vorrei un vostro parere prima di proseguire!
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao.
Probabilmente ti rispondo con una sciocchezza, però ci provo....
Poichè $3/4$ è maggiore di $5/7$ è più probabile che vinca 5 partite su 7.
Probabilmente ti rispondo con una sciocchezza, però ci provo....
Poichè $3/4$ è maggiore di $5/7$ è più probabile che vinca 5 partite su 7.
Grazie per la risposta, mi puoi spiegare però come ragioni per arrivarci? Vale anche nel caso in cui la probabilità di vittoria sdi A su B sia p?
Grazie mille!
Grazie mille!
Mi dispiace, ma come pensavo ho detto un sciocchezza!!!
La probabilità di vincere almeno 3 su 4 è $5/16$.
La probabilità di vincere almeno 5 su 7 è $29/128$
E poichè $5/16=40/128$ è più probabile vincerne almeno 3 su 4.
La probabilità di vincere almeno 3 su 4 è $5/16$.
La probabilità di vincere almeno 5 su 7 è $29/128$
E poichè $5/16=40/128$ è più probabile vincerne almeno 3 su 4.
Tu, però, hai fatto i calcoli senza eliminare le situazioni in cui vinci 3 partite consecutive, e pure la 4a. Oppure 5 e poi anche la 6a, o, addirittura, 6 e anche la 7a. Praticamente consideri tutte le n-uple e, come casi favorevoli, quelle che hanno almeno 3 "1" (nel primo caso) o almeno 5 "1" (nel secondo).
Sbaglio?
Sbaglio?
E' la stessa cosa.
La probabilità di vincere le prime 3 (senza giocare la 4°) è $1/8$.
La probabilità di vincere 2 delle prime 3 è $3/8$ che moltiplicata per la probabilità di vincere la 4° $1/2$ mi dà $3/16$.
Faccio la somma $1/8+3/16=5/16$
La probabilità di vincere le prime 3 (senza giocare la 4°) è $1/8$.
La probabilità di vincere 2 delle prime 3 è $3/8$ che moltiplicata per la probabilità di vincere la 4° $1/2$ mi dà $3/16$.
Faccio la somma $1/8+3/16=5/16$
Ok, tutto chiaro, grazie mille.
Per quanto riguarda il caso in cui la probabilità non è esplicitata, cosa mi dici? Io non vedo un modo per dare una risposta che non dipenda da p.
Per quanto riguarda il caso in cui la probabilità non è esplicitata, cosa mi dici? Io non vedo un modo per dare una risposta che non dipenda da p.
Cosa intendi per probabilità non esplicitata?
Intendo quello che mi viene chiesto nella seconda domanda, dove non so che le due squadre siano ugualmente forti, e abbiano la stessa probabilità di vincere una partita, ma, l'unica informazione che ho, è che la probabilità che A vinca sia p.
Non avevo neanche visto che c'era una seconda domanda....
Nel primo caso io direi:
$p^3+3p^3*(1-p)$
Nel primo caso io direi:
$p^3+3p^3*(1-p)$
Per la seconda
$p^5+5p^5*(1-p)+15p^5*(1-p)^2$
$p^5+5p^5*(1-p)+15p^5*(1-p)^2$
Hai ragione, prima ho scritto proprio una cosa sbagliata.
Giusto per essere sicura di aver capito, ti dico come interpreto l'ultima formula:
$p^5$ è il caso in cui siano state vinte le prime 5 partite;
$5p^5 * (1-p)$ 5 casi in cui vengono vinte 5 delle prime 6 partite, ma non le prime 5;
$15p^5 * (1 - p)^2$ 15 casi in cui vengono vinte 5 delle prime 7 partite, ma non 5 delle prime 5 o prime 6.
Corretto?
Giusto per essere sicura di aver capito, ti dico come interpreto l'ultima formula:
$p^5$ è il caso in cui siano state vinte le prime 5 partite;
$5p^5 * (1-p)$ 5 casi in cui vengono vinte 5 delle prime 6 partite, ma non le prime 5;
$15p^5 * (1 - p)^2$ 15 casi in cui vengono vinte 5 delle prime 7 partite, ma non 5 delle prime 5 o prime 6.
Corretto?
Si la tua interpretazione è corretta.
Forse era meglio pensare così:
a) vinto le prime 5 partite;
b)persa una delle prime 5 partite;
c)perse due delle prime 6 partite.
P.S. Hai sbagliato nel riscrivere la terza formula.
Saluti.
Luciano.
Forse era meglio pensare così:
a) vinto le prime 5 partite;
b)persa una delle prime 5 partite;
c)perse due delle prime 6 partite.
P.S. Hai sbagliato nel riscrivere la terza formula.
Saluti.
Luciano.
Perfetto, grazie mille!
Ho corretto il post precedente.
A presto e grazie ancora.
Ho corretto il post precedente.
A presto e grazie ancora.
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