Esercizio Poisson (varianza, valore atteso e fgm)

[Larios1]

ho questi due esercizi che ho svolto ma di cui non sono molto sicuro, se qualcuno me li potesse gentilmente guardare



1) $m_M(t)=E(e^(tM))=sum_(x=1)^(m) e^(tx) \cdot \lambda^x \cdot e^(-\lambda)/(x!)=$ quindi con taylor $e^(-\lambda) \cdot e^(\lambda \cdot e^t)$

2)visto che le $m$ variabili sono indipendenti e identicamente distribuite $E(M)=sum_(x=1)^(m) E(S_1) =m \lambda$ e quindi visto che $E(S_1)= \lambda$ per la legge di poisson anche $var(S_1)=\lambda$ e calcolo $var(M)=sum_(x=1)^(m) var(S_1) =m \lambda$
quindi M segue la legge di poisson in quanto E(M)=var(M)


grazie

[Andrea2976]

La prima è toppata, devi usare l'indipendenza cioè: $E(e^{tM})=E(e^{t(S_1+...S_m)})=\prod_{i=1}^{m}E(e^{tS_1})$ poi prosegui con il calcolo esplicito.

Per la seconda: la prima parte va bene, ma per dimostrare che $M$ è ancora "Poisson", basta usare una proprietà della funzione generatrice che hai calcolato in precedenza per dedurlo.

Un controesempio banale per vedere che non è vero che una v.a. $X$ sia "Poisson" se e solo se $E(X)=Var(X)$ è dato dalla v.a. $X=0$, cioè una v.a. aleatoria degenere in $0$, tutti i momenti coincidono banalmente con $0$ ma di certo $X$ non è "Poisson".

[Larios1]

hai ragione, grazie per i suggerimenti

[Larios1]

tenendo conto che la $\lambda=E(S_i)=0.2$ trovo $E(M)=100 $ e la dev. standard $=10$

quello che mi interesserebbe capire è se corretta questa parte:
nel 6) si utilizza l'approssimazione normale (in quanto $\lambda$ ha valore elevato) , perciò $M$ seguirà una legge normale di paramentri $(\lambda, \lambda)$

standardizzo:

$P((90-100)/100 \leq M \leq (110-100)/100)=oint(0.1)-oint(-0.1)=2oint(0.1)-1=$ dalle tavole mi controllo i valori corrispondenti a $0.1$ e risulta $=0.08$


per il 5 come calcolo i valori vicini al $\lambda=100$ visto che sono troppo elevati
nel senso se avessi saputo tracciare quel grafico non sarei dovuto ricorrere all'approssimazione normale dopo, avendo
già i dati che mi servivano...
grazie