Esercizio LOTUS

[marcoderamo93]

Buona sera
il problema è il seguente sia $X=N(0,1)$ calcolare $E(X^3e^(muX))$

ricordo in generelae

$E(g(X))=\int_{-infty}^{infty} g(x)f_X(x) dx$


quindi nel mio caso

$E(g(X))=\int_{-infty}^{infty} x^3e^(mux)1/sqrt(2pi) e^-(x^2/2) dx$

riscrivo
$E(g(X))=\int_{-infty}^{infty} x^3 1/sqrt(2pi) e^-((x^2+mux)/2) dx=\int_{-infty}^{infty} x^3 1/sqrt(2pi) e^-((x^2+mux+mu^2-mu^2)/2)$


quindi
$E(g(X))=e^(mu^2/2)\int_{-infty}^{infty} x^3 /sqrt(2pi) e^-(((x-mu)^2)/2) dx$

dove l integranda altro non è momento terzo di una $N(mu,1)$

tramite la fgm

$M_x(t)=e^(tmu+t^2/2)$ trovo la derivata terza e calcolo in 0

$M'''(t)=e^(tmu+t^2/2)(mu+t^2)^3+e^(tmu+t^2/2)2(mu+t)+e^(tmu+t^2/2)(mu+t)$

$M'''(0)=(mu^3+3mu)$
ma ricordo di moltiplicare per $e^((mu^2)/2)$ quindi $E(g(X))=$ $e^((mu^2)/2)(mu^3+3mu)$

[Lo_zio_Tom]

perfetto...

forse qualche piccolo typo nei passaggi...

ad un certo punto ti deve venire

$\int_{-oo}^{oo} x^3 1/sqrt(2pi)e^(-1/2(x^2-2mu x+mu^2-mu^2))dx$

tu invece di $-2mu x$ hai scritto $mu x$ ma immagino sia solo un errore di copiatura

... ma direi che puoi passsare oltre

[marcoderamo93]

Grazie tommik. I tuoi "input" mi sono serviti molto per la risoluzione. A presto