Esercizio lemma di Neyman e Pearson.

[momo16]

Sia $X$ una v.c. continua con legge di distribuzione $ phi(x; θ) = e^{−(x−θ)} $
$x ≥ theta$
di parametro $theta$ ignoto nei confronti del quale si formulano due ipotesi: $H0 : theta = 0$ e $H1 : theta = 1$.
Si scriva il rapporto delle verosimiglianze e supponendo di aver osservato $x = 0.5$, si concluda
opportunamente circa l’ipotesi che ha generato i dati.

Il rapporto di verosimiglianza viene privo di alcuna incognita $x$. Non riesco a capire come impostare il lemma di Neyman e Pearson..
Grazie per l'attenzione.

[momo16]

Ho che il rapporto di veromiglianza vale $0$ se $0 Quindi mi verrebbe da dire che per $x=0.5$ non ci sono evidenze per supportare l'ipotesi alternativa e quindi accetto l'ipotesi nulla.. Come posso formalizzarlo?

[Lo_zio_Tom]

Un modo di procedere è il seguente: il test di Neyman Pearson si basa sullo stimatore sufficiente che, in questo caso, si vede facilmente che è $hat(theta)=min(x)$

$x_(i)>theta$

ovvero

$theta
essendo $x=0,5$

dovrà essere anche $theta<0,5 rarr theta=0$

[momo16]

Sì esatto è la stessa cosa che ho pensato io.. Non capisco perchè però chieda il rapporto di verosimiglianza visto che appunto con quell'osservazione non puoi avere altro che $theta=0$

[Lo_zio_Tom]

"momo1":Ho che il rapporto di veromiglianza vale $0$ se $0

NO.

La prima domanda del problema è svincolata dall'osservazione successiva. Vuole che tu scriva il rapporto delle verosimiglianze per verificare che esso è monotono:

$(L(ul(x),0))/(L(ul(x),1))=(e^(-Sigmax)I_([0;oo))(x_((1))))/(e^(n-Sigmax)I_([1;oo))(x_((1))))=(I_([0;oo))(x_((1))))/(e^(n)I_([1;oo))(x_((1))))$

ovvero:

${{: ( oo , ;0<=x_((1))<1 ),( e^(-n) , ;x_((1))>=1 ) :}$

Quindi la famiglia in questione ammette rapporto di verosimiglianza monotono (anzi, non crescente) e quindi per un noto teorema [si veda Mood Graybill Boes pag 425] la regione critica è

$C:{min(x)>=h}$ ovvero, avendo una sola osservazione, $C:{x>=h}$

e quindi rifiutiamo l'ipotesi $H_(0)$ quando (poniamo ad es: $alpha=0,05$)

$P{x>h|H_(0)}=0,05$

$int_(h)^(oo)e^(-x)dx=0,05$

da cui la regione di rifiuto

$x>=3$

quindi essendo $x=0,5$ accettiamo l'ipotesi che $theta=0$