Esercizio lancio monete

[poncelet]

Si lanciano $n$ monete identiche, con $P(T)=p$, quindi si lanciano di nuovo le monete che hanno dato $T$. Si trovi la distribuzione di probabilità del numero di $T$ ottenute nel secondo lancio.

Allora, io ragiono così:

la variabile aleatoria che conta le teste nel primo lancio delle $n$ monete la chiamo $X$, essa ha distribuzione di probabilità:

$P(X=k)=((n),(k))*p^{k}*(1-p)^{n-k}$

Ora per quanto riguarda il secondo lancio, chiamo $T$ la v.a. che conta le teste, essa ha distribuzione;

$P(T=k)=sum_(i=k)^(n)P(T=k|X=i)*P(X=i)=sum_(i=k)^(n)((i),(k))p^{k}*(1-p)^{i-k}*((n),(i))*p^{i}*(1-p)^{n-i}$

Ora, utilizzando Maple, ho calcolato che la sommatoria è uguale a:

$P(T=k)=((n),(k))*(p^{2})^{k}*(1-p^{2})^{n-k}$

che è il risultato del libro. E' solo che senza Maple non sarei riuscito a raggiungere il risultato. C'è un altro procedimento o devo semplicemente esercitarmi conle serie?

[markowitz]

Forse, ma è molto più facile dirlo col senno di poi (nel senso con il risultato in mano), si poteva pensare che
l'evento $T$ nel secondo lancio coincide con l'evento $T,T$ se consideriamo i lanci effettuati a coppie dove
il secondo ha luogo solo se il primo a dato $T$.
Essendo i lanci indipendenti la prob. di osservare $T,T$ è $p^2$ e le "prove" continuano ad essere $n$ dove
una prova può avere un lancio con prob$=(1-p)$ e due lanci con prob$=p$

Nel senso la variabile $X$(teste al primo lancio) si distribuisce come $B(n,p)$ e questo è chiaro
per l'indipendenza si ottiene immediatamente(?) che:
$T$ (teste al secondo lancio, oltre al primo) ha distribuzione $B(n,p^2)$
e se ci interessasse il numero di teste all'm-esimo lancio (con i primi m-1 lanci che siano teste)
avremmo una distribuzione $B(n,p^m)$

[fransis2]

mi tornano entrambe le soluzioni. L'unica cosa che non so è cos'è Maple...

[poncelet]

"fransis2":mi tornano entrambe le soluzioni. L'unica cosa che non so è cos'è Maple...

Maple è un software matematico molto potente. Purtroppo è a pagamento.

[fransis2]

"maxsiviero":
Maple è un software matematico molto potente. Purtroppo è a pagamento.

ah...ok quindi quella serie l'hai calcolata con un programma...io avevo capito che Maple era una tecnica per calcolare un certo tipo di serie... comunque come si motiva (senza Maple) questo passaggio?

"maxsiviero":

$P(T=k)=sum_(i=k)^(n)P(T=k|X=i)*P(X=i)=sum_(i=k)^(n)((i),(k))p^{k}*(1-p)^{i-k}*((n),(i))*p^{i}*(1-p)^{n-i}$
....
$P(T=k)=((n),(k))*(p^{2})^{k}*(1-p^{2})^{n-k}$

[poncelet]

"fransis2":comunque come si motiva (senza Maple) questo passaggio?

[quote="maxsiviero"]

$P(T=k)=sum_(i=k)^(n)P(T=k|X=i)*P(X=i)=sum_(i=k)^(n)((i),(k))p^{k}*(1-p)^{i-k}*((n),(i))*p^{i}*(1-p)^{n-i}$
....
$P(T=k)=((n),(k))*(p^{2})^{k}*(1-p^{2})^{n-k}$

[/quote]

Se mi chiedi come si motiva il risultato finale, non so come risponderti, nel senso che ho inserito la sommatoria in Maple e mi ha dato il risultato che corrispondeva a quello del libro.