Esercizio lancio dado

[anyram]

Con quale probabilità si è costretti a lanciare un dado 12 volte per ottenere 3 volte il numero 3?

Vi sembra appropriato usare la distribuzione binomiale negativa con k(=numero di successi richiesti)=3, n(=numero di prove per avere k successi)=12 e p(=probabilità del successo)=1/6?
Quindi verrebbe: $Pr(x=12)=((12-1)!)/((2!)*((12-3)!))*((1/6)^(3))*(1-(5/6))^(12-3)=0,049$

Vi sembra corretto?

[kobeilprofeta]

È tardi, quindi forse dico cavolate ma io calcolerei la probabilità che su 11 lanci esca due volte con la binomiale e la moltiplicherei per la probabilità che esca al dodicesimo (1/6). Questo perche se facessi la binomiale per la probabilità che esca 3 su 12 non escluderei la possibilità che per rsempio esca le prime tre volte e a questo punto non avrei bisogno di 12 lanci.

[anyram]

"kobeilprofeta":È tardi, quindi forse dico cavolate ma io calcolerei la probabilità che su 11 lanci esca due volte con la binomiale e la moltiplicherei per la probabilità che esca al dodicesimo (1/6). Questo perche se facessi la binomiale per la probabilità che esca 3 su 12 non escluderei la possibilità che per rsempio esca le prime tre volte e a questo punto non avrei bisogno di 12 lanci.

mmmh e invece se uso la binomiale con n=12, k=3 e p=1/6, calcolando la probabilità di ottenere 3 volte il numero 3 in 12 lanci non è la stessa cosa? Verrebbe: $((12!)/(3!*9!))*(1/6)^(3)*(5/6)^(9)=0,197$
Cioè il quesito iniziale non può essere considerato equivalente a: "Qual è la probabilità di ottenere tre volte il numero 3 lanciando un dado 12 volte?"

Però facendo come hai detto tu, kobeilprofeta, verrebbe 0,049 che è il risultato che veniva a me usando la binomiale negativa, ma che non credo sia corretto...che ne pensi?

Oppure potrei ragionare considerando casi favorevoli/casi possibili. In tal caso avrei:
casi possibili= $D(6,12)=6^12$ (sono tutte le possibili disposizioni dei 6 numeri in 12 lanci)
casi favorevoli= $C(12,3)*D(1,3)*D(5,9)$
dove
$C(12,3)$ sono le possibili combinazioni delle tre uscite del numero 3 su 12 lanci
$D(1,3)$ sono le possibili disposizioni del numero 3 nei 3 tiri
$D(5,9)$ sono le possibili disposizioni degli altri 5 numeri possibili nei 12-3 tiri in cui non deve uscire il numero 3

Troppo contorto? In ogni caso mi trovo lo stesso risultato che mi viene usando la binomiale .

Ma a questo punto ho due ragionamenti che mi danno un risultato e altri due che me ne danno un altro..quale ragionamento è corretto?

[superpippone]

Secondo me ha ragione Kobe.
Se devi trovare la probabilità per cui si è "costretti" a lanciare il dado dodici volte per ottenere tre volte il risultato 3, significa che il dodicesimo esito deve essere 3. E significa anche che nei primi undici lanci, il 3 esce esattamente due volte.
$(1/6)^3*(5/6)^9*(11!)/(9!*2!)$
Altrimenti ti sarebbe stato semplicemente chiesto: "Qual è la probabilità che lanciando un dado dodici volte, il 3 esca tre volte."

[anyram]

"superpippone":Secondo me ha ragione Kobe.
Se devi trovare la probabilità per cui si è "costretti" a lanciare il dado dodici volte per ottenere tre volte il risultato 3, significa che il dodicesimo esito deve essere 3. E significa anche che nei primi undici lanci, il 3 esce esattamente due volte.
$(1/6)^3*(5/6)^9*(11!)/(9!*2!)$
Altrimenti ti sarebbe stato semplicemente chiesto: "Qual è la probabilità che lanciando un dado dodici volte, il 3 esca tre volte."

Anche secondo me. Che tra l'altro era il mio primo ragionamento, cioè l'applicazione della binomiale negativa

grazie a tutti