Esercizio: gioco di dadi
Ciao a tutti!!
Sto cercando di risolvere un esercizio, ma ho riscontrato alcuni problemi nei punti b) e c). Il problema è il seguente:
Due giocatori, A e B, giocano lanciando successivamente dei dadi e guardando alla somma ottenuta. Al primo lancio A vince se viene 7, mentre B vince se viene 2 oppure 12. Se nessuno di questi risultati compare e si ottiene invece il numero i come somma dei dadi, allora i giocatori continuano a lanciare. A vincerà non appena esce i e B non appena esce 7.
a) Qual è la probabilità che il giocatore A (risp. B) vinca al primo lancio?
In questo caso la risoluzione era semplice:
(Casi favorevoli)\(casi possibili)
Casi possibili: $ 6^2 $
Per A:
Casi:
5-2
2-5
3-4
4-3
1-6
6-1
Allora: $ 6/6^2=1/6 $
Per B:
Casi:
1-1
6-6
Allora: $ 2/36=1/18 $
b) Supponendo che il primo lancio abbia dato come risultato i ( $ i!=2,7,12 $ ) qual è la probabilità $ p_i$ che A vinca allo n-esimo lancio?
Considerando $q_i$ come la probabilità di ottenere i come somma del lancio di due dadi.
Calcolando che $q_i= (i-1)/36$ per i=2,...,7
$q_i=(12-i+1)/36$ per i=8,...,12
Si tratta di una legge geometrica che "parte" dal secondo lancio, per cui la probabilità richiesta è:
$ q_i*(1-q_i-q_7)^(n-2) $ dove togliamo $q_7$ perchè non vogliamo che esca il valore 7, dato che deve vincere A. Spero sia il ragionamento corretto.
c) Qual è la probabilità che A vinca? Conviene di più giocare al posto di A o a quello di B?
Qui pensavo di risolverlo con una sommatoria, ma non so che argomenti utilizzare a parte il $q_i^2$ per fare in modo che la somma i esca due volte (una al primo lancio e una seconda volta per la vittoria).
Il libro dà questo risultato:
$ q_7+ \sum_{i!=2,7,12} q_i^2/(q_i+q_7)=0,465 $ quindi sarà preferibile giocare come B.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!
Sto cercando di risolvere un esercizio, ma ho riscontrato alcuni problemi nei punti b) e c). Il problema è il seguente:
Due giocatori, A e B, giocano lanciando successivamente dei dadi e guardando alla somma ottenuta. Al primo lancio A vince se viene 7, mentre B vince se viene 2 oppure 12. Se nessuno di questi risultati compare e si ottiene invece il numero i come somma dei dadi, allora i giocatori continuano a lanciare. A vincerà non appena esce i e B non appena esce 7.
a) Qual è la probabilità che il giocatore A (risp. B) vinca al primo lancio?
In questo caso la risoluzione era semplice:
(Casi favorevoli)\(casi possibili)
Casi possibili: $ 6^2 $
Per A:
Casi:
5-2
2-5
3-4
4-3
1-6
6-1
Allora: $ 6/6^2=1/6 $
Per B:
Casi:
1-1
6-6
Allora: $ 2/36=1/18 $
b) Supponendo che il primo lancio abbia dato come risultato i ( $ i!=2,7,12 $ ) qual è la probabilità $ p_i$ che A vinca allo n-esimo lancio?
Considerando $q_i$ come la probabilità di ottenere i come somma del lancio di due dadi.
Calcolando che $q_i= (i-1)/36$ per i=2,...,7
$q_i=(12-i+1)/36$ per i=8,...,12
Si tratta di una legge geometrica che "parte" dal secondo lancio, per cui la probabilità richiesta è:
$ q_i*(1-q_i-q_7)^(n-2) $ dove togliamo $q_7$ perchè non vogliamo che esca il valore 7, dato che deve vincere A. Spero sia il ragionamento corretto.
c) Qual è la probabilità che A vinca? Conviene di più giocare al posto di A o a quello di B?
Qui pensavo di risolverlo con una sommatoria, ma non so che argomenti utilizzare a parte il $q_i^2$ per fare in modo che la somma i esca due volte (una al primo lancio e una seconda volta per la vittoria).
Il libro dà questo risultato:
$ q_7+ \sum_{i!=2,7,12} q_i^2/(q_i+q_7)=0,465 $ quindi sarà preferibile giocare come B.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!
Risposte
"19Elektra92":
:
Due giocatori, A e B, giocano lanciando successivamente dei dadi e guardando alla somma ottenuta.
forse intendevi "lanciando successivamente DUE dadi"....
il secondo non l'ho guardato con attenzione ma non mi piace....dice "dato che al primo lancio ecc ecc" quindi devi impostare una probabilità condizionata e non mi pare tu l'abbia fatto...
il terzo è identico (o quasi ) all'esercizio che ti ho proposto l'altro giorno....
"tommik":
[quote="19Elektra92"]:
Due giocatori, A e B, giocano lanciando successivamente dei dadi e guardando alla somma ottenuta.
forse intendevi "lanciando successivamente DUE dadi... [/quote]
Il testo dice esattamente "dei" dadi, anche se lo tratta come fossero due. Dato che i valori delle somme vanno da 2 a 12.
Per il secondo provo a sistemarlo usando la condizionale.
Si è vero il terzo assomiglia molto, avevo notato anch'io ma là avevo soltanto due possibili casi per lancio A o B, qui invece sono 12 e non capisco come impostare la sommatoria.
Grazie comunque dell'aiuto, lo riguardo... sicuramente mi è sfuggito qualcosa!
E' un esercizio davvero complicato. Guardandolo con un po' di attenzione e cospargendomi il capo di cenere, ho concluso che non è affatto uguale a quello che ti ho indicato precedentemente. Viene risolto con l'utilizzo della probabilità condizionata. Qui la distribuzione geometrica non c'entra proprio nulla...sorry
A vince quando esce 7 al primo lancio $rarr p_(7)=1/6$ oppure se, in un lancio oltre il primo, si ha un punteggio uguale a quello del primo lancio escluso 2,7,12, DATO che al primo lancio è uscito lo stesso risultato $i$ oppure 7. Evidentemente, se in un lancio oltre il primo, esce 2,7, oppure 12 A non può vincere.
Quindi in definitiva:
$P(7)+P(i i |1°_(i uu 7))=1/6+sum_(i={3,4,5,6,8,9,10,11})[p_(i)^2/(p_(i)+1/6)]=1/6+2sum_(i={3,4,5,6})[p_(i)^2/(p_(i)+1/6)]=$
$=1/6+2[(2/36)^2/(8/36)+(3/36)^2/(9/36)+(4/36)^2/(10/36)+(5/36)^2/(11/36)]=0.465152$
ora, con questa indicazione, dovresti riuscire a fare il punto B)
A vince quando esce 7 al primo lancio $rarr p_(7)=1/6$ oppure se, in un lancio oltre il primo, si ha un punteggio uguale a quello del primo lancio escluso 2,7,12, DATO che al primo lancio è uscito lo stesso risultato $i$ oppure 7. Evidentemente, se in un lancio oltre il primo, esce 2,7, oppure 12 A non può vincere.
Quindi in definitiva:
$P(7)+P(i i |1°_(i uu 7))=1/6+sum_(i={3,4,5,6,8,9,10,11})[p_(i)^2/(p_(i)+1/6)]=1/6+2sum_(i={3,4,5,6})[p_(i)^2/(p_(i)+1/6)]=$
$=1/6+2[(2/36)^2/(8/36)+(3/36)^2/(9/36)+(4/36)^2/(10/36)+(5/36)^2/(11/36)]=0.465152$
ora, con questa indicazione, dovresti riuscire a fare il punto B)
Verissimo!!! Ora vedendolo così è un'altra cosa, non avevo pensato di utilizzare la condizionata in questo modo, soprattutto perché non riuscivo a trovare la connessione col fatto che uscisse il 7 oppure i. Dovevo ragionare meglio sul "funzionamento" del gioco.
Grazie infinite per l'aiuto!!
grazie grazie!!
Grazie infinite per l'aiuto!!
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