Esercizio funzione di variabile aleatoria
Ciao a tutti,
ho qualche problema su come approcciare questo esercizio:
Sia \(X\) una variabile aleatoria con distribuzione binomiale di parametri \(n=4\) e \(p=1/3\) e sia \(Y=\left |sin\left [\frac{\pi}{2}\left (1-\frac{X}{2} \right ) \right ] \right |\). Determinare la distribuzione di probabilità di \(y\) e il suo valore atteso \(m\).
Allora, innanzitutto
\(X \sim \binom{4}{x}\cdot \frac{1}{3}^x\cdot \frac{2}{3}^\left (4-x \right )\)
A questo punto, sul sul libro di teoria trovo scritto che la funzione di ripartizione di un numero aleatorio \(Y=\varphi(y)\), è \(G(y)=F(\varphi^-1(y))\). Solo che in questo caso non una densità di probabilità, ma una distribuzione binomiale... quindi,
per trovare la distribuzione di \(Y\) devo invertire la funzione \(\left |sin\left [\frac{\pi}{2}\left (1-\frac{X}{2} \right ) \right ] \right |\), e sostituirla a \(x\) nella distribuzione di \(X\)? O non sto capendo nulla?
Grazie in anticipo.
ho qualche problema su come approcciare questo esercizio:
Sia \(X\) una variabile aleatoria con distribuzione binomiale di parametri \(n=4\) e \(p=1/3\) e sia \(Y=\left |sin\left [\frac{\pi}{2}\left (1-\frac{X}{2} \right ) \right ] \right |\). Determinare la distribuzione di probabilità di \(y\) e il suo valore atteso \(m\).
Allora, innanzitutto
\(X \sim \binom{4}{x}\cdot \frac{1}{3}^x\cdot \frac{2}{3}^\left (4-x \right )\)
A questo punto, sul sul libro di teoria trovo scritto che la funzione di ripartizione di un numero aleatorio \(Y=\varphi(y)\), è \(G(y)=F(\varphi^-1(y))\). Solo che in questo caso non una densità di probabilità, ma una distribuzione binomiale... quindi,
per trovare la distribuzione di \(Y\) devo invertire la funzione \(\left |sin\left [\frac{\pi}{2}\left (1-\frac{X}{2} \right ) \right ] \right |\), e sostituirla a \(x\) nella distribuzione di \(X\)? O non sto capendo nulla?
Grazie in anticipo.
Risposte
io direi ,sostituendo i possibili valori di $X$ nella funzione,
$p(Y=1)=p(X=0)$
$p(Y=sqrt2/2)=p(X=1)$
etc...
$p(Y=1)=p(X=0)$
$p(Y=sqrt2/2)=p(X=1)$
etc...
Aaah credo di aver capito, allora era molto più semplice di quanto pensassi.
Come hai suggerito tu, trovo prima \(P(Y=y)\):
\(P(Y=y)=\left\{\begin{matrix} P(X=0)\simeq 0,2= P(Y=1)\\ P(X=1)\simeq 0,4= P(Y=\frac{\sqrt{2}}{2})\\ P(X=2)\simeq 0,3= P(Y=0)\\ P(X=3)\simeq 0,1= P(Y=\frac{\sqrt{2}}{2})\\ P(X=4)\simeq 0,01= P(Y=1) \end{matrix}\right.\)
Dove ricavo i valori delle \(P(X=x)\) tramite la distribuzione binomiale.
Dopodiché calcolo il valore atteso come:
\(m=\sum_{y} y\cdot P(Y=y)=2\left [ 1\cdot P(Y=1) +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot P \left ( Y=\frac{\sqrt{2}}{2}\right )\right ]=2\cdot [0,2+0,29]=0,97\)
Il procedimento è corretto?
EDIT: no, c'è chiaramente un errore, ora rivedo il tutto.
Come hai suggerito tu, trovo prima \(P(Y=y)\):
\(P(Y=y)=\left\{\begin{matrix} P(X=0)\simeq 0,2= P(Y=1)\\ P(X=1)\simeq 0,4= P(Y=\frac{\sqrt{2}}{2})\\ P(X=2)\simeq 0,3= P(Y=0)\\ P(X=3)\simeq 0,1= P(Y=\frac{\sqrt{2}}{2})\\ P(X=4)\simeq 0,01= P(Y=1) \end{matrix}\right.\)
Dove ricavo i valori delle \(P(X=x)\) tramite la distribuzione binomiale.
Dopodiché calcolo il valore atteso come:
\(m=\sum_{y} y\cdot P(Y=y)=2\left [ 1\cdot P(Y=1) +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot P \left ( Y=\frac{\sqrt{2}}{2}\right )\right ]=2\cdot [0,2+0,29]=0,97\)
Il procedimento è corretto?
EDIT: no, c'è chiaramente un errore, ora rivedo il tutto.
Mi rendo conto di aver scritto un'eresia sopra, ma non capisco come procedere... la funzione \(Y\) non è invertibile, quindi come posso fare?
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