Esercizio funzione di ripartizione

[cooper1]

sia data la funzione $F(x)=sum_(i=1)^(oo)1/2^i 1_([1/i,oo)$
mostrare che è la FdR di una probabilità in $RR$. definiamo $P((-oo,x])=F(x)$. trovare le probabilità dei seguenti eventi:
$A=[1,+oo), B[1/10,oo),C={0},D=[0,1/2),E=(-oo,0),G=(0,+oo)$

per dimostrare la prima parte devo mostrare che è crescente, continua a destra e che $F(-oo)=0 ^^ F(+oo)=1$
che la funzione sia continua a destra è perchè è continua in tutto il suo dominio e quindi a maggior ragione è continua a destra. inoltre $F(-oo)=0$ perchè l'indicatrice contiene intervalli tutti positivi, dove arriva nel limite $i=oo$ a $(0,oo)$ e quindi i valori negativi annullano la F. invece, considerando che essendo l'infinito positivo sicuramente appartiene all'insieme della funzione indicatrice che quindi fa 1, sia ha
$F(+oo)=sum_(i=1)^(oo)(1/2)^i=((1/2)^1-(1/2)^(oo))/(1-1/2)=1$
infine la funzione è crescente perchè all'aumentare di i aumento il dominio in cui l'indicatrice non si annulla ($[1/i,oo)>[1/(i+1),oo)$) e quindi la funzione è più grande
sfruttando invece le proprietà della funzione di ripartizione ottengo:
$P(A)=F(oo)-F(1^(\text{-}))=1-sum_(i=2)^(oo)1/2^i 1_([1/i,oo))$
$P(B)=F(oo)-F((1/10)^(\text{-}))=1-sum_(i=11)^(oo)1/2^i 1_([1/i,oo))$
$P(C)=F(0)-F(0^(\text{-}))=0$ perchè la funzione è continua
$P(D)=F((1/2)^(\text{-}))-F(0^(\text{-}))=sum_(i=3)^(oo)1/2^i 1_([1/i,oo))$
$P(E)=F(0)-F(-oo)=0$
$P(G)=F(oo)-F(0^(\text{-}))=1$
vi sembra corretto?

[Lo_zio_Tom]

"cooper":sia data la funzione $F(x)=sum_(i=1)^(oo)1/2^i 1_([1/i,oo)$

Lo svolgimento va più o meno bene, con qualche sbavatura;

1) nell'espressione della $F_X(x)$ non vedo la x....sarà l'argomento della funzione indicatrice?

$I_([1/i;oo))(x)$

2) La F non può essere continua; mi sembra tanto una funzione a salti..infatti hai con $F(0.1)$ sommi da 10 in poi , $F(0.11)$ pure ecc ecc finché ad un fdcerto punto, es già a $F(0.112)$ inizi a sommare da 9 in poi.....finché arrivi a $F_X(1)=1$

I conti fatti sono giusti, la FdR è una funzione a gradini (infiniti gradini) che è zero prima di zero e uno da uno in poi.
I salti rappresentano i valori di probabilità della variabile discreta e sono esattamente i singoli valori della successione $1/2^i$, in ordine inverso, ovviamente: Es $P(X=1)=1/2$

[cooper1]

"tommik":1) nell'espressione della FX(x) non vedo la x....sarà l'argomento della funzione indicatrice?

non era proprio scritta nemmeno nel testo, ho assunto anche io fosse l'argomento dell'indicatrice non essendoci da altre parti.

"tommik":La F non può essere continua

ho detto una bella castroneria in effetti. e non avevo nemmeno così ben capito l'andamento della funzione, grazie per la delucidazione. penso che inconsciamente ragionassi più sugli indici che sulle variabili x.

"arnett":la continuità da destra è assicurata perché nell'indicatrice l'intervallo è chiuso a sinistra.

chiarissimo!
grazie ad entrambi per le spiegazioni

[cooper1]

"arnett":I conti sulle probabilità mi sembrano giusti; per A e per D è facile esplicitare il valore numerico che è 12,14 rispettivamente (o tramite somma di progressione geometrica o facilmente dal grafico).

ho voluto lasciarli scritti così per far più che altro capire il tipo di ragionamento che avevo fatto, prima di "azzeccare" il risultato anche solo per fortuna

"arnett":Per C propongo un'ulteriore osservazione: abbiamo osservato che la funzione di ripartizione non è in generale continua; ma in zero è continua?

limite destro e sinistro sembrerebbero coincidere ed anche a coincidere al valore in 0 e quindi sono anche io portato a dire che in 0 sia continua