Esercizio facile sulla covarianza

[Sk_Anonymous]

Siano A e B due monete non truccate. Sia $X_1$ la variabile aleatoria che vale 1 se la moneta A restituisce testa, 0 se restituisce croce, e sia $X_2$ l'analoga v.a. per la moneta B. Calcolare la covarianza di $X_1$ e $X_2$.

$E(X_1)=1*1/2+0*1/2=1/2=E(X_2)$
$E(X_1*X_2)=1/2$

quindi la covarianza dovrebbe essere $E(X_1*X_2)-E(X_1)E(X_2)=1/4$. Ma sulle dispense ho un teorema che assicura che la covarianza tra due v.a. indipendenti è 0. Dove sbaglio?

[pat871]

$E[X_1*X_2] = 0*P[X_1*X_2=0] + 1*P[X_1*X_2=1]$

Ma $P[X_1*X_2=1] = P[X_1=1,X_2=1]$

poiché $X_1=1$ e $X_2 =1$ è l'unico modo possibile affinché il loro prodotto sia $1$, e quindi per indipendenza delle v.a.:

$P[X_1=1,X_2=1] = P[X_1=1]*P[X_2=1] = 1/2*1/2=1/4$.

Ok?

[_nicola de rosa]

In generale se due v.a sono indipendenti allora la correlazione $E[XY]$ è pari al prodotto delle singole medie cioè $E[XY]=E[X]*E[Y]$ per cui la covarianza $Cov[X,Y]=(E[XY]-E[X]E[Y])/(sigma_X*sigma_Y)=0$

Cioè in generale $indipendenza=>incorrelazione$.

E $incorrelazione=>indipendenza$? Se sì, in che circostanza? Se possibile, sapresti fornire dei casi in cui l'incorrelazione implica l'indipendenza e dei casi in cui no?

[pat871]

Scusa un secondo nicola, ma non è

Corr$(X,Y) = (Cov(X,Y))/(\sigma_X*sigma_Y)$

?

[_nicola de rosa]

"pat87":Scusa un secondo nicola, ma non è

Corr$(X,Y) = (Cov(X,Y))/(\sigma_X*sigma_Y)$

?

Allora quello che intendevo era il coefficiente di correlazione $rho$ definito come $rho=(Cov(X,Y))/(\sigma_X*sigma_Y)=(R(X,Y)-E[X]*E[Y])/(\sigma_X*sigma_Y)$ dove $R(X,Y)=E[XY]$ è la correlazione della coppia di variabili aleatorie