Esercizio disuguaglianza di Chebyshev
Salve a tutti, vorrei qualche indicazione su come svolgere il seguente quesito:
"Se la durata di un segnale ha distribuzione esponenziale con media 5 secondi, utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quanti segnali indipendenti bisogna registrare perché la loro durata media sia compresa tra 4 e 6 secondi, con una probabilità almeno pari a 9/10?"
Risposte:
a. Almeno 90
b. Almeno 100
c. Almeno 250
d. Almeno 50
So che per ottenere il 90% il fattore c deve essere circa 3 ma non so come andare avanti.
\(\displaystyle P(|X−μ|
Grazie.
"Se la durata di un segnale ha distribuzione esponenziale con media 5 secondi, utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quanti segnali indipendenti bisogna registrare perché la loro durata media sia compresa tra 4 e 6 secondi, con una probabilità almeno pari a 9/10?"
Risposte:
a. Almeno 90
b. Almeno 100
c. Almeno 250
d. Almeno 50
So che per ottenere il 90% il fattore c deve essere circa 3 ma non so come andare avanti.
\(\displaystyle P(|X−μ|
Grazie.
Risposte
Quant'è la varianza di una distribuzione esponenziale con media 5 secondi?
"ghira":
Quant'è la varianza di una distribuzione esponenziale con media 5 secondi?
\(\displaystyle Var(X) = 1/λ^2 \) quindi 25.
e quindi applicando la disuguaglianza di Cebicev trovi subito che
$1-25/n>=9/10$
ovvero $n>=250$
dove sta la difficoltà?
$1-25/n>=9/10$
ovvero $n>=250$
dove sta la difficoltà?
"tommik":
e quindi applicando la disuguaglianza di Cebicev trovi subito che
$1-25/n>=9/10$
ovvero $n>=250$
dove sta la difficoltà?
Scusami non capisco il membro di sinistra, perchè \(\displaystyle 1-25/n \)?
La disuguaglianza di Cebicev, scritta in modo un po' differente dal tuo ma più utile, in questo caso, è la seguente
$mathbb{P}{|X-mu|<=epsilon}>=1-sigma^2/epsilon^2$
ti viene chiesto di applicare questa disuguaglianza ALLA MEDIA di n segnali indipendenti. Non mi pare un segreto che la media della media campionaria è la media della popolazione mentre la varianza della media campionaria è la varianza della popolazione diviso n....quindi la tua disuguaglianza è questa
$mathbb{P}{|bar(X)_n-5|<=1}>=1-25/(n\cdot 1^2)$
$mathbb{P}{|X-mu|<=epsilon}>=1-sigma^2/epsilon^2$
ti viene chiesto di applicare questa disuguaglianza ALLA MEDIA di n segnali indipendenti. Non mi pare un segreto che la media della media campionaria è la media della popolazione mentre la varianza della media campionaria è la varianza della popolazione diviso n....quindi la tua disuguaglianza è questa
$mathbb{P}{|bar(X)_n-5|<=1}>=1-25/(n\cdot 1^2)$
Giustissimo! che stupido...
Grazie mille dell'aiuto, molto gentile.
Grazie mille dell'aiuto, molto gentile.
"tommik":
mentre la varianza della media campionaria è la varianza della popolazione diviso n....
Questo non vale solo se la popolazione segue una distribuzione gaussiana?
No. E' sufficiente che le variabili siano stocasticamente indipendenti ed ogni elemento $X_i$ del campione abbia la stessa distribuzione della popolazione.
Queste sono le proprietà del "Campionamento Casuale"
Dim:
$\mathbb{E}[\bar(X)_n]=\mathbb{E}[1/n sum_i X_i]=1/n n \mathbb{E}[X_1]=mu$
$\mathbb{V}[\bar(X)_n]=\mathbb{V}[1/n sum_i X_i]=1/n^2 n \mathbb{V}[X_1]=sigma^2/n$
Nel caso in esame si ha una pololazione con densità esponenziale negativa di parametro $1/5$ da cui si estrae un campione casuale semplice di ampiezza $n$
$X_1,...,X_n$
Il fatto è che, nota la distribuzione, il problema può essere risolto in modo esatto e non con questa bruttissima approssimazione di Cebicev dove non si tiene conto della conoscenza della distribuzione. Una volta nota la distribuzione la disuguaglianza di Cebicev non serve più a nulla...
Questi metodi (Es. Cebicev e Markov) sono molto ma molto approssimativi e servono quando non si conosce nulla circa la distribuzione dei dati ma solo media e varianza....allora piuttosto che niente è meglio piuttosto.
Qui invece sappiamo che la popolazione è una Esponenziale (cioè una Gamma). Per le note proprietà di questa famiglia anche la media è ancora Gamma.....che si può ricondurre ad una chi quadro....poi ci sono le tavole e i calcolatori.
Oppure ancora esistono metodi approssimati molto ma molto più efficienti: nel caso in esame viene fuori che $n>=250$...dico duecentocinquanta.
con $n=250$, media e varianza finite si può usare il Teorema Centrale del Limite[nota]una nota "regola empirica" consiglia di usarlo con $n>=32$[/nota] anche senza passare per la distribuzione esatta (se uno non ha dimestichezza con le Gamma)...ma Cebicev proprio è l'unica cosa che non farei...
Quindi come si dovrebbe procedere:
1) se uno sa gestire le Gamma può calcolare la soluzione esatta
2) se uno non lo sa allora usa Cebicev e quando vede che $n$ è enorme, molto più di quanto consideriamo normalmente come $oo$ allora rifà il problema con il TLC. Se gli viene fuori un $n>30$ tutto ok...se viene fuori $n=5$ allora occorre farsi qualche domanda.
Queste sono le proprietà del "Campionamento Casuale"
Dim:
$\mathbb{E}[\bar(X)_n]=\mathbb{E}[1/n sum_i X_i]=1/n n \mathbb{E}[X_1]=mu$
$\mathbb{V}[\bar(X)_n]=\mathbb{V}[1/n sum_i X_i]=1/n^2 n \mathbb{V}[X_1]=sigma^2/n$
Nel caso in esame si ha una pololazione con densità esponenziale negativa di parametro $1/5$ da cui si estrae un campione casuale semplice di ampiezza $n$
$X_1,...,X_n$
Il fatto è che, nota la distribuzione, il problema può essere risolto in modo esatto e non con questa bruttissima approssimazione di Cebicev dove non si tiene conto della conoscenza della distribuzione. Una volta nota la distribuzione la disuguaglianza di Cebicev non serve più a nulla...
Questi metodi (Es. Cebicev e Markov) sono molto ma molto approssimativi e servono quando non si conosce nulla circa la distribuzione dei dati ma solo media e varianza....allora piuttosto che niente è meglio piuttosto.
Qui invece sappiamo che la popolazione è una Esponenziale (cioè una Gamma). Per le note proprietà di questa famiglia anche la media è ancora Gamma.....che si può ricondurre ad una chi quadro....poi ci sono le tavole e i calcolatori.
Oppure ancora esistono metodi approssimati molto ma molto più efficienti: nel caso in esame viene fuori che $n>=250$...dico duecentocinquanta.
con $n=250$, media e varianza finite si può usare il Teorema Centrale del Limite[nota]una nota "regola empirica" consiglia di usarlo con $n>=32$[/nota] anche senza passare per la distribuzione esatta (se uno non ha dimestichezza con le Gamma)...ma Cebicev proprio è l'unica cosa che non farei...
Quindi come si dovrebbe procedere:
1) se uno sa gestire le Gamma può calcolare la soluzione esatta
2) se uno non lo sa allora usa Cebicev e quando vede che $n$ è enorme, molto più di quanto consideriamo normalmente come $oo$ allora rifà il problema con il TLC. Se gli viene fuori un $n>30$ tutto ok...se viene fuori $n=5$ allora occorre farsi qualche domanda.
"tommik":
No. E' sufficiente che le variabili siano stocasticamente indipendenti ed ogni elemento $X_i$ del campione abbia la stessa distribuzione della popolazione.
Queste sono le proprietà del "Campionamento Casuale"
Grazie, precisazione preziosa. E' una delle (tante) cose che non avevo a fuoco.
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