Esercizio distribuzioni congiunte
Buonasera a tutti, sono bloccato su questo problema:
Un programma e' diviso in 3 blocchi che vengono compilati in sequenza. Il tempo di
compilazione di un blocco è una variabile esponenziale di media 5 minuti, ogni blocco
viene compilato in modo indipendente dagli altri blocchi. Il programma e' completato
quando tutti i blocchi vengono compilati.
a) Calcolare il tempo medio necessario per compilare il programma.
b) Calcolare la probabilità che il tempo totale di compilazione sia superiore a 8 minuti.
per il punto a basta fare $5*3=15$, da cui ricavo $\mu = 1/5$ (ricavato dalla formula: $E(x)=1/\mu$)
adesso mi sono bloccato nel punto b).
a me l'unica soluzione che mi viene in mente è sottrarre ad 1 tutte le probabilità congiunte del tipo $P(b1, b2, b3)$ dove $b1+b2+b3 <= 8$ però questo funzionerebbe soltanto se fossi in un caso discreto e non continuo come questo
Un programma e' diviso in 3 blocchi che vengono compilati in sequenza. Il tempo di
compilazione di un blocco è una variabile esponenziale di media 5 minuti, ogni blocco
viene compilato in modo indipendente dagli altri blocchi. Il programma e' completato
quando tutti i blocchi vengono compilati.
a) Calcolare il tempo medio necessario per compilare il programma.
b) Calcolare la probabilità che il tempo totale di compilazione sia superiore a 8 minuti.
per il punto a basta fare $5*3=15$, da cui ricavo $\mu = 1/5$ (ricavato dalla formula: $E(x)=1/\mu$)
adesso mi sono bloccato nel punto b).
a me l'unica soluzione che mi viene in mente è sottrarre ad 1 tutte le probabilità congiunte del tipo $P(b1, b2, b3)$ dove $b1+b2+b3 <= 8$ però questo funzionerebbe soltanto se fossi in un caso discreto e non continuo come questo
Risposte
Le variabili $X_1,X_2,X_3$ sono tutte esponenziali indipendenti $Exp(1/5)=Gamma(1,1/5)$
quindi il punto 2) è semplicemente la probabilità della variabile $Y=X_1+X_2+X_3$.
In virtù dell'indipendenza $Y$ si distribuisce ancora come una Gamma $Gamma(3;1/5)$ di media $E[Y]=3/(1/5)=15$ minuti[nota]tale media poteva subito essere calcolata con le proprietà di linerarità del valore atteso[/nota].
Per calcolare la probabilità richiesta basta risolvere l'integrale della Gamma (è semplice da fare) oppure puoi standardizzare la Gamma e guardare il risultato sulle tavole della $chi^2$ con 6 gdl
Questo perché i blocchi sono compilati in sequenza; se invece fossero compliati simultaneamente dovresti calcolare la distribuzione di $Z=Max(x_i)$
spero sia chiaro
Qui trovi le soluzioni, per controllo
Ciao
quindi il punto 2) è semplicemente la probabilità della variabile $Y=X_1+X_2+X_3$.
In virtù dell'indipendenza $Y$ si distribuisce ancora come una Gamma $Gamma(3;1/5)$ di media $E[Y]=3/(1/5)=15$ minuti[nota]tale media poteva subito essere calcolata con le proprietà di linerarità del valore atteso[/nota].
Per calcolare la probabilità richiesta basta risolvere l'integrale della Gamma (è semplice da fare) oppure puoi standardizzare la Gamma e guardare il risultato sulle tavole della $chi^2$ con 6 gdl
Questo perché i blocchi sono compilati in sequenza; se invece fossero compliati simultaneamente dovresti calcolare la distribuzione di $Z=Max(x_i)$
spero sia chiaro
Qui trovi le soluzioni, per controllo
Ciao
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