Esercizio distribuzione Uniforme
X è una variabile aleatoria Uniforme in $ (0,1)$
a) trovare la funzione di distribuzione e la densità di $ Y = -logX $
b) trovare $ E[Y]$ e $ Var(Y) $
c) trovare $ p( Y > 3) $
Il mio svolgimento:
a)Se non sbaglio ci sono due metodi per trovarla
$ f(y) = fx(h(y))|h'(y)| $
trovo l'inversa di $ Y = -logX rArr h(y) = 10^(-1/y) $ e ne calcolo la derivata $ h'(y) = - 10^(1/y)/(y^2) $
$ f(y) = fx(h(y))|h'(y)| = -1/y^2 $
Okay che questa è la densità, ma sapendo che la densità è la derivata della f di distribuzione, posso calcolarmi quest'ultima, che verrebbe quindi $ 1/x $
Secondo l'altro metodo posso trovarmi la densità della variabile X, la funzione distributiva di X, da essa ricavarmi la distributiva di Y.
è corretto? Facendo i calcoli mi vengono risultati diversi.
b) Essendo una variabile uniforme dovrei poter calcolare $ E[Y] = (beta + alpha )/2 $ che qui verrebbe $ 1/2 $ e
$ Var(Y) = (beta + alpha )^2/12 = 1/ 12 $
c) $ p(Y > 3) = 1 - F(3) $
Il dubbio, oltre sui calcoli che ho già provato a rifare, è riguardo il punto b), basta scrivere quella formula e il risultato ottenuto?
a) trovare la funzione di distribuzione e la densità di $ Y = -logX $
b) trovare $ E[Y]$ e $ Var(Y) $
c) trovare $ p( Y > 3) $
Il mio svolgimento:
a)Se non sbaglio ci sono due metodi per trovarla
$ f(y) = fx(h(y))|h'(y)| $
trovo l'inversa di $ Y = -logX rArr h(y) = 10^(-1/y) $ e ne calcolo la derivata $ h'(y) = - 10^(1/y)/(y^2) $
$ f(y) = fx(h(y))|h'(y)| = -1/y^2 $
Okay che questa è la densità, ma sapendo che la densità è la derivata della f di distribuzione, posso calcolarmi quest'ultima, che verrebbe quindi $ 1/x $
Secondo l'altro metodo posso trovarmi la densità della variabile X, la funzione distributiva di X, da essa ricavarmi la distributiva di Y.
è corretto? Facendo i calcoli mi vengono risultati diversi.
b) Essendo una variabile uniforme dovrei poter calcolare $ E[Y] = (beta + alpha )/2 $ che qui verrebbe $ 1/2 $ e
$ Var(Y) = (beta + alpha )^2/12 = 1/ 12 $
c) $ p(Y > 3) = 1 - F(3) $
Il dubbio, oltre sui calcoli che ho già provato a rifare, è riguardo il punto b), basta scrivere quella formula e il risultato ottenuto?
Risposte
ci sono talmente tanti errori che non è possibile correggere lo svolgimento. Ecco i principali errori
1) il logaritmo è in base $e$ e non in base 10
2) se anche fosse in base 10 la funzione inversa è sbagliata
3) se anche fosse giusta la funzione inversa, la derivata che hai trovato è sbagliata
4) la formula per la trasformazione è giusta ma l'hai applicata in modo errato
5) la densità trovata non è una densità, essendo sempre <0; inoltre il suo integrale su tutto il dominio diverge.
6) l'integrale che hai provato a fare è sbagliato (l'integrale della tua funzione integranda diverge in 0)
7) Y non è una uniforme
8) il dominio di Y è $(0;+oo)$
9) non essendo uniforme non puoi calcolare come hai fatto tu media e varianza
10) la varianza di una uniforme non è quella che hai scritto tu ma è $(b-a)^2/12$.
Ti consiglio quindi di studiare meglio la teoria (ed anche un bel ripasso di analisi) e rifare l'esercizio
Ecco come andava svolto l'esercizio
Non metto in dubbio l'aver fatto una quantità imbarazzante di errori, per carità
Eppure io il $ log(x) $ l'ho sempre considerato in base 10, ove non era specificata altra base. E il $ ln(x) $ in base $ e $ .
Ti ripeto, non metto in dubbio che tu abbia ragione, ti sto chiedendo una delucidazione a riguardo..
Eppure io il $ log(x) $ l'ho sempre considerato in base 10, ove non era specificata altra base. E il $ ln(x) $ in base $ e $ .
Ti ripeto, non metto in dubbio che tu abbia ragione, ti sto chiedendo una delucidazione a riguardo..
Ti confermo che logX lo si intende in base $e$...ma a lezione non avete mai fatto esercizi così? Che tipo di scuola frequenti?
Ad ogni modo se vuoi vedere la soluzione in base 10 si può fare..ma non come hai fatto tu...
La funzione inversa verrebbe
$X=10^(-Y)$
La densità di Y verrebbe
$f_Y(y)=ln(10)*10^(-y)$
$y in (0;+oo)$
$F_Y(y)=1-10^(-y)$
$E[Y]=int_(0)^(+oo)yln(10)10^(-y)dy=1/(ln(10))$
$E[Y^2]=int_(0)^(+oo)y^2ln(10)10^(-y)dy=2/(ln^2(10))$
$V[Y]=1/(ln^2(10))$
$P(Y>3)=10^(-3)$
Ma ti posso garantire che la soluzione corretta è quella che ti ho scritto prima
Saluti
Ad ogni modo se vuoi vedere la soluzione in base 10 si può fare..ma non come hai fatto tu...
La funzione inversa verrebbe
$X=10^(-Y)$
La densità di Y verrebbe
$f_Y(y)=ln(10)*10^(-y)$
$y in (0;+oo)$
$F_Y(y)=1-10^(-y)$
$E[Y]=int_(0)^(+oo)yln(10)10^(-y)dy=1/(ln(10))$
$E[Y^2]=int_(0)^(+oo)y^2ln(10)10^(-y)dy=2/(ln^2(10))$
$V[Y]=1/(ln^2(10))$
$P(Y>3)=10^(-3)$
Ma ti posso garantire che la soluzione corretta è quella che ti ho scritto prima
Saluti
Ti ripeto, non sto mettendo in dubbio la tua soluzione, semplicemente sia al liceo che all'università me l'hanno sempre espresso così. Ti giuro mi hai messo in crisi, sono andata a ricercare i libri del liceo ahhahahaha
E vero che il logaritmo in base $e$ si scrive $ln(x)$ ma è altrettanto vero che il logaritmo in base 10 non viene mai usato e quindi ormai (anche su testi di riferimento) si sottintende base $e$ anche scrivendo $log(x)$
Questa pagina, ad esempio, è tratta dal Cifarelli - Muliere, Statistica Bayesiana, ancora oggi uno dei maggiori testi di riferimento e, come puoi notare, usa il simbolo log per indicare il logaritmo in base $e$
Ad ogni modo ti ho messo anche la soluzione con il logaritmo in base 10.
Per queste cose magari fai riferimento al tuo libro di testo e soprattutto al tuo docente così ti chiarisce lui come interpretare i dati.
cordiali saluti
Questa pagina, ad esempio, è tratta dal Cifarelli - Muliere, Statistica Bayesiana, ancora oggi uno dei maggiori testi di riferimento e, come puoi notare, usa il simbolo log per indicare il logaritmo in base $e$
Ad ogni modo ti ho messo anche la soluzione con il logaritmo in base 10.
Per queste cose magari fai riferimento al tuo libro di testo e soprattutto al tuo docente così ti chiarisce lui come interpretare i dati.
cordiali saluti
Innanzitutto, grazie mille per l'aiuto e per la spiegazione, grazie ad essa ho capito molti errori, pure gravi, che facevo. Immagino tu abbia impiegato molto tempo, che non mi era dovuto, ad aiutarmi (sì, ho letto la tua risposta prima che tu la modficassi).
Riguardo la questione del $log(x)$, per cui praticamente hai impiegato più tempo della soluzione dell'esercizio in sè, io non ho mai messo in dubbio che tu avessi ragione, ti stavo solo dicendo che al liceo ancora lo spiegano così, adesso sono all'Università in qualche modo dovevo scoprirlo, no? Tutto questo per dire di non darlo per scontato, magari chi hai davanti non ha ancora masticato molta probabilità/analisi universitaria.
Detto questo, ti ripeto, davvero grazie mille per la tua spiegazione perché ho capito molto da essa.
Riguardo la questione del $log(x)$, per cui praticamente hai impiegato più tempo della soluzione dell'esercizio in sè, io non ho mai messo in dubbio che tu avessi ragione, ti stavo solo dicendo che al liceo ancora lo spiegano così, adesso sono all'Università in qualche modo dovevo scoprirlo, no? Tutto questo per dire di non darlo per scontato, magari chi hai davanti non ha ancora masticato molta probabilità/analisi universitaria.
Detto questo, ti ripeto, davvero grazie mille per la tua spiegazione perché ho capito molto da essa.
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