Esercizio Distribuzione Normale

[alessiobugetti]

Salve, il quesito è il seguente:
Le v.a. $X$, $Y$ sono indipendenti e hanno distribuzioni normali $X ∼ N (−1, 3^2)$, $Y ∼ N (0, 3^2)$. Si determini ( per ogni valore di $k>0$ ) la probabilità $P(X ≥ kY )$.
La risposta va data in termini della funzione $Φ(x)$ e della inversa $Φ^−1$

Non riesco a trovare un modo per trovare la probabilità $P(X>=kY)$. Ho seriamente difficoltà nel risolvere questi esercizi e continuo a leggere la teoria all'infinito senza capirne la possibile risoluzione. Grazie anticipatamente.

[Lo_zio_Tom]

In realtà è un quesito molto semplice ...pensaci bene: $P(X>Y)=P(X-Y>0)$
... e come si distribuisce $X-Y$ non mi pare un segreto...nel tuo questo hai anche $k$ ma del resto non devi trovare una soluzione numerica, ma solo esprimerla in termini della CDF di una gaussiana standard $Phi$

[alessiobugetti]

"tommik":In realtà è un quesito molto semplice ...pensaci bene: $P(X>Y)=P(X-Y>0)$
... e come si distribuisce $X-Y$ non mi pare un segreto...nel tuo questo hai anche $k$ ma del resto non devi trovare una soluzione numerica, ma solo esprimerla in termini della CDF di una gaussiana standard $Phi$

Grazie mille per la risposta! Avevo pensato di risolverlo così:
$P(X-kY>0)=1-Phi(1/(3sqrt(k^2+1)))$

L'avevo calcolato ricavandomi:
$E[X-kY]=E[x]-kE[y]=-1-k*0=-1$
$Var[X-KY]=Var[x]+k^(2)Var[Y]=3^(2)+k^2*3^(2)=3^2(k^2+1)$

Sbaglio qualcosa? Ho interpretato male qualche passaggio?