(Esercizio) Distribuzione Gaussiana e Gamma

[giorgio.brunozzi]

Ecoomi qui con un nuovo esercizio simile al precedente ma ovviamente con le sue diversit'a'. Veniamo al dunque:

Testo dell'esercizio: Siano \(X_1,..,X_{10} \) tutte v.a. i.i.d. N(2,2) e sia Y ∼ Γ(3, 1 2) una v.a. indipendente dalle precedenti.
1) Dire che distribuzione ha la media empirica \(X_{10} \)
2) Calcolare la retta di regressione lineare di \(Z = X_{10} - Y \) su \(W = X_{10}Y \)

Ho ragionato come segue: Siccome sono di fronte a un problema dove viene esplicitato il calcolo di una media empirica allora posso aver bisogno di due teoremi fondamentali che sono o La Legge(debole) dei Grandi Numeri(LGN) oppure il Teorema del Limite Centrale(TLC). Poiche' le v.a. \(X_1,..,X_{10} \) seguono una distribuzione Gaussiana di parametri $\mu$ = 2 e $\sigma^2$ = 2 dovrei utilizzare il TLC che piu' si presta a descrivere la media empirica tramite distribuzione Gaussiana.

Sapendo che \(X_n = \frac {S_n} {n} \ \) e che allora \(E(S_n) = \mu \) , \(E(X_n) = \mu \) , \(Var(S_n) = \sigma^2 \) , \(Var(X_n) = \frac {\sigma^2 } {n}\ \)

da cui otteniamo \(\frac { X_n - E(X_n)} {sqrt(Var(X_n))} \)

Questa che fin'ora ho elencato e' la parte dove sono arrivato e che racchiude in buona sostanza la teoria.Pero' non riesco ad andare avanti e rispondere ai quesiti che mi vengono posti. Sapreste gentilmente darmi una mano?

[Lo_zio_Tom]

Sei fuori strada. Premesso che non ho bene capito ciò che hai scritto ma se come penso la media empirica $X_10$ è la media campionaria $1/n sum_i X_i $ allora essa è ancora gaussiana di media $mu=E (X_i)=2$ e varianza $(V (X_i))/n=2/10$ come hai tu stesso calcolato, anche se con qualche errore, perché $V (S_n)=n sigma^2$.

Infatti viene

$V (1/n sum_i X_i)=1/n^2 V (S_n)=1/n^2 n sigma^2=sigma^2/n $

Il TCL non serve a nulla qui: serve la proprietà di riproducibilità della gaussiana .

Per quanto riguarda la regressione anche lì non ho ben capito cosa tu intenda con $Z=X_10 -Y $ dato che hai indicato con lo stesso simbolo la variabile $X_10 $ e la media campionaria. Al di là di questo, per calcolare la retta di regressione basta utilizzare le formule dei parametri a e b che dovresti conoscere.

$Z=a +bW $

$a=E (Z)-bE (W) $
$b=(cov (Z,W))/(V (W)) $

Ora data l'indipendenza fra le X e la Y non dovrebbe essere difficile procedere.

[giorgio.brunozzi]

Grazie per aver risposto al primo punto.

Per quanto riguarda il secondo punto sinceramente non ho neanche provato un abbozzo perche' sinceramente non saprei neanche da dove iniziare a parte le formule che mi avrebbero subito dato i parametri a e b della retta di regressione lineare. Potresti gentilmente indicarmi lo svolgimento con la soluzione del secondo punto ?

Ti ringrazio in anticipo e mi scuso per il disturbo.

[Lo_zio_Tom]

ti confermo che basta calcolare i parametri della retta.
Oltretutto dal testo che hai scritto non si capisce nemmeno se $X_10$ è la variabile numero 10 o la media empirica, dato che le hai indicate entrambe col medesimo simbolo. In genere la media di 10 elementi si indica $bar (X)_10$

....e poi basta fare i conti

$E (W)=E (X_10 Y)=E (X_10)E (Y) $

$V (W)=E (X_10^2 Y^2)-E^2 (W)=E (X_10^2)E (Y^2)-E^2 (W) $

$Cov (Z,W)=E (ZW)-E (Z)E (W) $

ecc ecc..

$E (Y^2) $ è il momento secondo di una gamma ($(n(n+1))/theta^2$)

$E (X_10^2) $ è il momento secondo di una gaussiana ($sigma^2+mu^2$)

Per calcolare la covarianza svolgi i calcoli che ti ho impostato e ti ritrovi sempre a calcolare i momenti di X e Y indipendenti

....non vedo particolari difficoltà.

Questa volta ti ho aiutato un po' troppo..