Esercizio distribuzione esponenziale
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio sulla distribuzione esponenziale.
Marco ha due automobili $A$ e $B$. Ogni mattina sceglie a caso quale usare. L’auto $A$ è più veloce dell’auto $B$.
Il tempo (in minuti) per arrivare al lavoro impiegando l’auto $A$ è una v.a. $A~exp(1/15 )$. Impiegando l’auto $B$ è invece una v.a. $B~exp(1/20)$
$i)$ Dato un qualsiasi giorno lavorativo, qual'è la probabilità che Marco impieghi più di $22$ minuti per arrivare al lavoro?
$ii)$ Sapendo che Marco ha impiegato più di $22$ minuti, qual'è la probabilità che abbia scelto l’auto $A$?
Non riesco a capire cosa mi viene richiesto.
Essendoci due variabili aleatorie, penso, che bisogna usare la densità congiunta, ma non riesco a formulare bene la domanda.
Mi viene chiesta la $P(X>22,Y>22)$? o la $P(X+Y>22)$?
Per il secondo punto, invece, bisogna usare la densità condizionata, giusto?
Grazie
Marco ha due automobili $A$ e $B$. Ogni mattina sceglie a caso quale usare. L’auto $A$ è più veloce dell’auto $B$.
Il tempo (in minuti) per arrivare al lavoro impiegando l’auto $A$ è una v.a. $A~exp(1/15 )$. Impiegando l’auto $B$ è invece una v.a. $B~exp(1/20)$
$i)$ Dato un qualsiasi giorno lavorativo, qual'è la probabilità che Marco impieghi più di $22$ minuti per arrivare al lavoro?
$ii)$ Sapendo che Marco ha impiegato più di $22$ minuti, qual'è la probabilità che abbia scelto l’auto $A$?
Non riesco a capire cosa mi viene richiesto.
Essendoci due variabili aleatorie, penso, che bisogna usare la densità congiunta, ma non riesco a formulare bene la domanda.
Mi viene chiesta la $P(X>22,Y>22)$? o la $P(X+Y>22)$?
Per il secondo punto, invece, bisogna usare la densità condizionata, giusto?
Grazie
Risposte
Dai su.....Si fa anche a mente..
$P(X>22)=P(A)P(X>22|A)+P(B)P(X>22|B)=$
$=1/2[e^(-22/15)+e^(-22/20)]$
Il secondo è una semplice divisione fra i risultati del punto precedente
$(e^(-22/15))/(e^(-22/15)+e^(-22/20))$
Giuro che non ho nemmeno usato carta e penna!
$P(X>22)=P(A)P(X>22|A)+P(B)P(X>22|B)=$
$=1/2[e^(-22/15)+e^(-22/20)]$
Il secondo è una semplice divisione fra i risultati del punto precedente
$(e^(-22/15))/(e^(-22/15)+e^(-22/20))$
Giuro che non ho nemmeno usato carta e penna!
Pensavo che fosse più difficile visto che l'ho preso da una traccia d'esame 
Meglio così
Comunque, visto che:
$P(X>22)=P(A)P(A>22)+P(B)P(B>22)$
La $P(X>22)$, per caso, si può scrivere in un altro modo? Ad esempio $P(A uu B>22)?$
Lo chiedo per sapere qual'è il modo più corretto per impostare l'esercizio durante un esame, visto che, purtroppo, non posso seguire i corsi all'università e di conseguenza vorrei evitare errori banali
Grazie ancora
Meglio così
Comunque, visto che:
$P(X>22)=P(A)P(A>22)+P(B)P(B>22)$
La $P(X>22)$, per caso, si può scrivere in un altro modo? Ad esempio $P(A uu B>22)?$
Lo chiedo per sapere qual'è il modo più corretto per impostare l'esercizio durante un esame, visto che, purtroppo, non posso seguire i corsi all'università e di conseguenza vorrei evitare errori banali
Grazie ancora
io ho semplicemente usato il Teorema della Probabilità Totale che trovi dovunque su libri, dispense o appunti alle prime pagine del calcolo della probabilità.
Ciò che hai scritto tu non ha alcun senso
Devi innanzitutto definire bene gli Eventi connessi all'esperimento, ad esempio
A: uso l'auto A $rarr P(A)=1/2$
B: uso l'auto B $rarr P(B)=1/2$
X: durata del viaggio definita da una distribuzione esponenziale così condizionata:
$f(x|A)=1/15e^(-x/15)$
$f(x|B)=1/20e^(-x/20)$
Quindi ovviamente il modo più naturale di partizionare l'evento $X>22$ è il seguente:
In formule:
$P(X>22)=P[A nn( X>22)] uu P[B nn( X>22)]=P(A)P(X>22|A)+P(B)P(X>22|B)$
Graficamente:
più chiaro di così è davvero impossibile.
[ot]se hai ancora questi dubbi su argomenti così basilari mi permetto (e sottolineo che è solo una mia opinione) di sconsigliarti vivamente di risolvere prove d'esame ma di studiare molto più attentamente tutta la teoria sottostante[/ot]
Ciò che hai scritto tu non ha alcun senso
Devi innanzitutto definire bene gli Eventi connessi all'esperimento, ad esempio
A: uso l'auto A $rarr P(A)=1/2$
B: uso l'auto B $rarr P(B)=1/2$
X: durata del viaggio definita da una distribuzione esponenziale così condizionata:
$f(x|A)=1/15e^(-x/15)$
$f(x|B)=1/20e^(-x/20)$
Quindi ovviamente il modo più naturale di partizionare l'evento $X>22$ è il seguente:
"Probabilità di usare l'auto A per la probabilità di metterci più di 22 minuti, dato che uso l'auto A + Probabilità di usare l'auto B per la probabilità di metterci più di 22 minuti, dato che uso l'auto B"
In formule:
$P(X>22)=P[A nn( X>22)] uu P[B nn( X>22)]=P(A)P(X>22|A)+P(B)P(X>22|B)$
Graficamente:
più chiaro di così è davvero impossibile.
[ot]se hai ancora questi dubbi su argomenti così basilari mi permetto (e sottolineo che è solo una mia opinione) di sconsigliarti vivamente di risolvere prove d'esame ma di studiare molto più attentamente tutta la teoria sottostante[/ot]
Grazie per la spiegazione tommik!
Hai totalmente ragione sul consiglio che mi ha dato.
Sinceramente, non mi aspettavo (ingenuamente) di trovare uno dei primissimi argomenti studiati, applicato alle distribuzioni continue e per questo ho fatto una grandissima confusione nell impostazione dell esercizio.
Grazie ancora
Hai totalmente ragione sul consiglio che mi ha dato.
Sinceramente, non mi aspettavo (ingenuamente) di trovare uno dei primissimi argomenti studiati, applicato alle distribuzioni continue e per questo ho fatto una grandissima confusione nell impostazione dell esercizio.
Grazie ancora
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