Esercizio distribuzione di probabilità

[guerri.francesco]

Ciao a tutti. Vi chiedo una mano su questo esercizio:

Considerate un quarto di corona circolare di raggio interno r1 distribuito uniformemente in [1,2] e raggio esterno r2 distribuito uniformemente in [2,4].

1)Determinare come è distribuito il perimetro
2)Valutare media e varianza del perimetro
3)Determinare come è distribuita l'area (solo l'impostazione)
4)Valutare media e varianza dell'area

Le uniche due cose che sono riuscito a dedurre (e non so se siano corrette o meno) sono le due funzioni densità di probabilità:
$f(r1)={(1,text(su) [1,2]),(0,text(altrove)):} text( e )
f(r2)={(1/2,text(su) [2,4]),(0,text(altrove)):}$

Non riesco proprio a partire. Spero che mi possiate dare una mano. Grazie!

[Alukard990]

Sapendo che sono variabili aleatorie distribuite sappiamo subito che la media è data da $mu=(b+a)/2$ e varianza $sigma=(b-a)^2 /12$ dove b ed a sono gli estremi superiore e inferiore dei supporti delle pdf che hai trovato. Poi credo che per determinare la pdf dell'area devi applicare una trasformazione di variabile aleatoria attraverso la formula $Area=pi*r^2$.

[guerri.francesco]

Ho capito il discorso che fai della media e della varianza, ma così le fai solo per le singole variabili. A me invece viene richiesta la media e la varianza del perimetro!

[Alukard990]

Con quelle pdf ti riferisci a come sia distribuito il raggio, a te serve perimetro e area, quindi credo che devi applicare una trasformazione di variabile $X=2pi*(r_1+r_2)/4$ per il perimetro e $Y=pi(r_2^2-r_1^2)/4$ per l'area

[guerri.francesco]

Ok, va bene per il cambiamento di variabile, ho capito. Ma non capisco come fare. Devo creare una nuova variabile aleatoria data dalla somma dei raggi? Scusate l'ignoranza ma dopo settimane passate sugli appunti ancora ci capisco poco. Se qualcuno avesse tempo e voglia di risolverlo passo passo gliene sarei grato.