Esercizio distribuzione di probabilità

[aenigma1]

salve a tutti!!! sto studiando per l'esame di probabilità dal libro calcolo delle probabilità del dall'aglio e c'è qualche esercizio che non riesco a risovere...oggi chiedo questo.

Due persone, A e B, arrivano dal medico agli istanti aleatori X e Y indipendenti e uniformementi distribuiti tra mezzogiorno e l'una. Ogni visita dura 20 minuti; se uno arriva durante la visita l'altro aspetta che la visita finisca.
Trovare la distribuzione di probabilità della durata Z dell'attesa di B ,espressa in ore....

allora, io ho detto, se ci esprimiamo in ore, prendendo come $0$ le $12$, X e Y sono uniformemente distribuiti tra 0 e 1.

allora la densità congiunta è 1 se $x,y in (0,1)$ , 0 altrimenti

allora ho detto $Z=|Y-X|$ e quindi per, $0
$\int_0^1\int_(X-z)^(X+z) dy dx=2z$ ma il risultato il libro me lo dà sbagliato, mi dice che è $1/2+1/2(2/3+z)^2$...cosa sbaglio?

[process11]

scusami, non te lo so risolvere, ma interesserebbe anche a me avere un'idea di come si possa fare, per questo lo tiro su

[wnvl]

"aenigma":salve a tutti!!! sto studiando per l'esame di probabilità dal libro calcolo delle probabilità del dall'aglio e c'è qualche esercizio che non riesco a risovere...oggi chiedo questo.

Due persone, A e B, arrivano dal medico agli istanti aleatori X e Y indipendenti e uniformementi distribuiti tra mezzogiorno e l'una. Ogni visita dura 20 minuti; se uno arriva durante la visita l'altro aspetta che la visita finisca.
Trovare la distribuzione di probabilità della durata Z dell'attesa di B ,espressa in ore....

allora, io ho detto, se ci esprimiamo in ore, prendendo come $0$ le $12$, X e Y sono uniformemente distribuiti tra 0 e 1.

allora la densità congiunta è 1 se $x,y in (0,1)$ , 0 altrimenti

allora ho detto $Z=|Y-X|$ e quindi per, $0
$\int_0^1\int_(X-z)^(X+z) dy dx=2z$ ma il risultato il libro me lo dà sbagliato, mi dice che è $1/2+1/2(2/3+z)^2$...cosa sbaglio?

Penso che la durata Z dell'attesa di B deve sempre essere inferiore a $\frac{1}{3}$, dunque la risposta del libro non puo essere corretta.

[process11]

eppure io questo esercizio lo ho visto sulle dispense di perone pacifico e da la stessa risposta del dall'aglio che ha citato aenigma...quindi la risposta deve essere giusta, il problema è arrivarci

[aenigma1]

mi è stato suggerito di pensare a questo: : poiché la differenza di arrivo è di 20 minuti, essa corrisponde ad $1/3$ di ora. Per cui, se uno dei due arriva tra mezzogiorno e le 12.40, l'altro arriva tra le 12.20 e le 13.00. quindi uno dei due ha probabilità di arrivare pari a $2/3$ e l'altro pari a $1/3$. quindi quello che si ha è una probabilità di bernoulli.

ma con la distribuzione binomiale non riesco a trovare cmq la soluzione scritta sopra...

[totinaples]

sicuramente il primo $1/2$ è la probabilità che B arrivi prima di A.
poi $1/2$ è la prob che A arrivi prima di B poi si dovrebbe moltiplicare tutto per la prob che B caschi proprio nello spazio $1/3-z$. Inoltre mi sembra (ma potrei sbagliarmi) che il tempo di attesa non sia $Y-X$ ma sia $X+1/3-Y$...

[aenigma1]

grazie per il suggerimento...dunque per calcolare la f.d r del tempo di attesa devo fare $P(X+1/3-z<=Y<=X+1/3)$????

perchè non avrei altre idee, solo che se lo imposto:

$\int_{0}^{2/3} \int_{x+1/3-z}^{x+1/3} dy dx + \int_{2/3}^{2\3+z} \int_{x+1/3-z}^{1} dy dx$ mi viene $z^2/2+2/3z$...che non è possibile

[aenigma1]

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