(Esercizio) Distribuzione di Poisson e Gamma
Salve a tutti. Sto svolgendo un esercizio che riguarda la distribuzione di variabili aleatorie continue, ma purtroppo di fronte ad esercizi di questo tipo dove le distribuzioni si concatenano ho delle difficoltà di comprensione.Potreste aiutarmi gentilmente a capire come si risolvono esercizi di questo tipo?
Il testo dell'esercizio è il seguente:
La precipitazione piovosa (in mm) in un certo periodo è rappresentata da una variabile aleatoria T distribuita secondo una Γ(30,5). Se T = t, il numero di ombrelli N venduti da un certo negozio segue una Poisson di parametro 4t.
1)Scrivere la densita` di N
2) Calcolare E(N)
Io ho iniziato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Calcolo inizialmente la funzione di densità di Poisson data dalla seguente \(P(N_t=n) = \frac{{\lambda*t}^n} {n!} \ e^{-\lambda*t} \)
Sostituendo a tale formula il parametro $ \lambda = 4t $ ottengo \(P(N_t=n) = \frac{4t^{2n}} {n!} \ e^{-4t^2}\)
Adesso non so piu' come procedere. Nel senso che non so se i calcoli fatti fino adesso siano giusti e se , quando e come dovrei far entrare in gioco la densita' Gamma.
E' il mio primo messaggio qui sul forum e spero che le formule si leggano bene.Aspettando il vostro aiuto colgo l'occasione per ringraziarvi anticipatamente.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
La precipitazione piovosa (in mm) in un certo periodo è rappresentata da una variabile aleatoria T distribuita secondo una Γ(30,5). Se T = t, il numero di ombrelli N venduti da un certo negozio segue una Poisson di parametro 4t.
1)Scrivere la densita` di N
2) Calcolare E(N)
Io ho iniziato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Calcolo inizialmente la funzione di densità di Poisson data dalla seguente \(P(N_t=n) = \frac{{\lambda*t}^n} {n!} \ e^{-\lambda*t} \)
Sostituendo a tale formula il parametro $ \lambda = 4t $ ottengo \(P(N_t=n) = \frac{4t^{2n}} {n!} \ e^{-4t^2}\)
Adesso non so piu' come procedere. Nel senso che non so se i calcoli fatti fino adesso siano giusti e se , quando e come dovrei far entrare in gioco la densita' Gamma.
E' il mio primo messaggio qui sul forum e spero che le formule si leggano bene.Aspettando il vostro aiuto colgo l'occasione per ringraziarvi anticipatamente.
Risposte
purtroppo no, le formule che hai scritto non si leggono (o meglio, io non riesco a leggerle).
Ti consiglio quindi, per il futuro, di utilizzare l'apposito compilatore per inserire le formule.
Se il numero di ombrelli dipende (ovviamente) anche dalla quantità di pioggia, la densità richiesta è una densità condizionata.
Quindi avremo che $f_(N|T=t)=(e^(-4t)*(4t)^n)/(n !)$
$n=0,1,....$
$t>0$
di media $E[N|T=t]=4t$
T invece è una $Gamma(n;theta)=Gamma(30;5)$ di media $E[T]=n/theta=30/5$
Per quanto riguarda la media $E[N]$ puoi usare le proprietà del valore atteso condizionato secondo cui
$E[N]=E[E[N|T]]=E[4t]=4E[T]=4*30/5=24$
Ti consiglio quindi, per il futuro, di utilizzare l'apposito compilatore per inserire le formule.
Se il numero di ombrelli dipende (ovviamente) anche dalla quantità di pioggia, la densità richiesta è una densità condizionata.
Quindi avremo che $f_(N|T=t)=(e^(-4t)*(4t)^n)/(n !)$
$n=0,1,....$
$t>0$
di media $E[N|T=t]=4t$
T invece è una $Gamma(n;theta)=Gamma(30;5)$ di media $E[T]=n/theta=30/5$
Per quanto riguarda la media $E[N]$ puoi usare le proprietà del valore atteso condizionato secondo cui
$E[N]=E[E[N|T]]=E[4t]=4E[T]=4*30/5=24$
Grazie mille per la risposta celere Tommik. Finalmente sono riuscito a riscrivere le formule in maniera corretta spero ti siano d'aiuto per capire il mio problema.
Mi confermi la tua soluzione? Cosa ho sbagliato nell'approcciare l'esercizio?
Mi confermi la tua soluzione? Cosa ho sbagliato nell'approcciare l'esercizio?
mah confermo.....così come ho fatto mi pare ragionevole (non sono un insegnante e faccio queste cose per hobby tra un lavoro e l'altro)
sai che la distribuzione di poisson è questa
$P(X=x)=(e^(-theta)theta^x)/(x!)$
di media $E[X]=theta$
Se il testo ti dice che, dato che i mm di pioggia sono $T=t$, la tua poisson è di parametro $4t$ mi pare che la distribuzione sia semplicemente questa (ho sostituito $theta=4t$)
$P(X|T=t)=(e^(-4t)(4t)^x)/(x!)$
per $x=0,1,2,...$ e $t>0$
a questo punto la media si calcola con il teorema che ti ho mostrato
sai che la distribuzione di poisson è questa
$P(X=x)=(e^(-theta)theta^x)/(x!)$
di media $E[X]=theta$
Se il testo ti dice che, dato che i mm di pioggia sono $T=t$, la tua poisson è di parametro $4t$ mi pare che la distribuzione sia semplicemente questa (ho sostituito $theta=4t$)
$P(X|T=t)=(e^(-4t)(4t)^x)/(x!)$
per $x=0,1,2,...$ e $t>0$
a questo punto la media si calcola con il teorema che ti ho mostrato
Grazie mille per la risposta. A noi il professore ci ha illustrato il processo di Poisson dicendoci che \(P(N_t=n) = \frac{{\lambda*t}^n} {n!} \ e^{-\lambda*t} \) ecco perche' nella mia soluzione appare un \(t^2 \). La tua soluzione mi pare identica a quella proposta da me se non fosse per il fatto che usiamo due formule diverse non nella forma ma nel parametro. La mia formula e' errata?
Avrai copiato male sugli appunti perché il processo di poisson è
$P (lambdat)=(e^(-lambdat)(lambdat)^x)/(x!) $
Tu hai scritto una cosa diversa.
Al di là di ciò che hai scritto sugli appunti, puoi verificare la correttezza della mia formula su qualunque testo scientifico:
$P (lambdat)=(e^(-lambdat)(lambdat)^x)/(x!) $
Tu hai scritto una cosa diversa.
"Giorjevic":
A noi il professore ci ha illustrato il processo di Poisson dicendoci che \(P(N_t=n) = \frac{{\lambda*t}^n} {n!} \ e^{-\lambda*t} \)
Al di là di ciò che hai scritto sugli appunti, puoi verificare la correttezza della mia formula su qualunque testo scientifico:
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