Esercizio (difficilino) Variabile Aleatoria di Bernoulli
Salve a tutti. Ho problemi con un esercizio di statistica (descrittiva?). Vi riporto qui il testo:
In un intersezione si registrano i giorni dell'anno in cui si sono verificati incidenti, che risultano essere pari a 45. Rappresentando i due eventi, si verifica un incidente nel giorno i-esimo, non si verifica un incidente nel giorno i-esimo, attraverso una variabile aleatoria Bernoulliana, e quindi l'osservazione condotta come esperimenti Bernoulliani ripetuti (i.e. ogni giorno effettuo un esperimento che da esito positivo in caso di incidente ed esito negativo in caso di assenza di incidenti), valutare la probabilità che in un giorno si verifichi un incidente e la probabilità che si verifichino incidenti in 100 giorni in un anno.
Avevo provato a risolvere l' esercizio impostando una v.a. di Bernoulli X, secondo cui ottengo la funzione probabilità P[X] come:
$ P[X=1] = p $
$ P[X=0] = q = 1-p $
Ottenendo perciò la risposta alla prima questione (probabilità di incidente giornaliero) cioè
$ p=45/365 $
Purtroppo per la seconda ho maggiori problemi: infatti impostando il coefficiente binomiale
$ 365! $
la calcolatrice non lo prende nemmeno in considerazione in quanto supera la sua capacità di memoria.
Vorrei delucidazioni su entrambi i punti, se qualche anima pia (e anche preparata) sappia risolvere questo problema.
Grazie mille in anticipo
In un intersezione si registrano i giorni dell'anno in cui si sono verificati incidenti, che risultano essere pari a 45. Rappresentando i due eventi, si verifica un incidente nel giorno i-esimo, non si verifica un incidente nel giorno i-esimo, attraverso una variabile aleatoria Bernoulliana, e quindi l'osservazione condotta come esperimenti Bernoulliani ripetuti (i.e. ogni giorno effettuo un esperimento che da esito positivo in caso di incidente ed esito negativo in caso di assenza di incidenti), valutare la probabilità che in un giorno si verifichi un incidente e la probabilità che si verifichino incidenti in 100 giorni in un anno.
Avevo provato a risolvere l' esercizio impostando una v.a. di Bernoulli X, secondo cui ottengo la funzione probabilità P[X] come:
$ P[X=1] = p $
$ P[X=0] = q = 1-p $
Ottenendo perciò la risposta alla prima questione (probabilità di incidente giornaliero) cioè
$ p=45/365 $
Purtroppo per la seconda ho maggiori problemi: infatti impostando il coefficiente binomiale
$ 365! $
la calcolatrice non lo prende nemmeno in considerazione in quanto supera la sua capacità di memoria.
Vorrei delucidazioni su entrambi i punti, se qualche anima pia (e anche preparata) sappia risolvere questo problema.
Grazie mille in anticipo
Risposte
si potrebbe agire così:
essendo $n$ abbastanza alto possiamo approssimare la distribuzione binomiale con quella normale con $mu=np$ e $sigma=sqrt(npq)$
siccome in una distribuzione continua la probabilità che la variabile casuale assuma un preciso valore è nulla,si potrebbe aggirare l'ostacolo calcolando la probabilità che essa assuma valori compresi tra $99,5$ e $100,5$
in questo modo si ottiene un valore molto vicino a quello della distribuzione binomiale
essendo $n$ abbastanza alto possiamo approssimare la distribuzione binomiale con quella normale con $mu=np$ e $sigma=sqrt(npq)$
siccome in una distribuzione continua la probabilità che la variabile casuale assuma un preciso valore è nulla,si potrebbe aggirare l'ostacolo calcolando la probabilità che essa assuma valori compresi tra $99,5$ e $100,5$
in questo modo si ottiene un valore molto vicino a quello della distribuzione binomiale
@stormy
cosa intendi per $n$ ? Potresti spiegare come hai pensato di agire? Mi interessa questo problema ma ho poche conoscenze dell'argomento. Conosco la distribuzione normale ma come mai la media e la varianza sono $np$ ed $\sqrt{npq}$ ?
cosa intendi per $n$ ? Potresti spiegare come hai pensato di agire? Mi interessa questo problema ma ho poche conoscenze dell'argomento. Conosco la distribuzione normale ma come mai la media e la varianza sono $np$ ed $\sqrt{npq}$ ?
$n=365$
$np$ e $sqrt(npq)$ sono rispettivamente la media e la deviazione standard della distribuzione binomiale
a questo punto ,come già detto prima,uso questi valori approssimando la distribuzione binomiale con la distribuzione normale avente proprio queste $mu$ e $sigma$
questo approccio è un'applicazione del teorema del limite centrale
$np$ e $sqrt(npq)$ sono rispettivamente la media e la deviazione standard della distribuzione binomiale
a questo punto ,come già detto prima,uso questi valori approssimando la distribuzione binomiale con la distribuzione normale avente proprio queste $mu$ e $sigma$
questo approccio è un'applicazione del teorema del limite centrale
Grazie mille Stormy ho capito. Però si presenta un ulteriore problema: una volta calcolati gli estremi dell'intervallo mi escono due valori:
Estremo inferiore: $ 8.68 $
Estremo superiore: $ 8.84 $
Le tavole che ho a disposizione accettano valori fino a $ 2 $ .
Cosa dovrei fare?
Estremo inferiore: $ 8.68 $
Estremo superiore: $ 8.84 $
Le tavole che ho a disposizione accettano valori fino a $ 2 $ .
Cosa dovrei fare?
forse non è un caso che sia stato usato il verbo "valutare" e non il verbo "calcolare"
la tabella che ho a disposizione arriva fino a $3,49$
$P(Z leq 3,49)=0,9998$
quindi,quantomeno possiamo dire che la probabilità che si verifichino 100 incidenti in un anno è minore di $0,0002$
di più non saprei dire
la tabella che ho a disposizione arriva fino a $3,49$
$P(Z leq 3,49)=0,9998$
quindi,quantomeno possiamo dire che la probabilità che si verifichino 100 incidenti in un anno è minore di $0,0002$
di più non saprei dire
Avevo provato ad utilizzare una legge che approssimava il binomiale e la probabilità ci veniva $ 10^-15 $ quindi sarebbe in linea con le valutazioni da te fatte. Penso di risolverlo così, grazie mille.
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