Esercizio di un'urna contenente palline
Un’urna contiene 6 palline bianche e 10 rosse. Si estraggono 5 palline. Trova la probabilità che 2 o 3 siano rosse: a) se l’estrazione è con rimessa; b) se l’estrazione è senza rimessa.
Io ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo per quanto riguarda l'estrazione con rimessa:
$10/16 * 10/16 * 6/16 * 6/16 * 6/16 + 10/16 * 10/16 * 10/16 * 6/16 * 6/16 = 0.0549$
Per quanto riguarda l'estrazione senza rimessa:
$10/16 * 9/15 * 6/14 * 5/13 * 4/12 + 10/16 * 9/15 * 8/14 * 6/13 * 5/12 = 0.0618$
I risultati del libro sono $0.549$ e $0.618$, cioè entrambi i risultati differiscono dai miei per uno spostamento di virgola. Secondo voi ho sbagliato il ragionamento e di conseguenza i calcoli, oppure i calcoli del libro sono errati?
Io ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo per quanto riguarda l'estrazione con rimessa:
$10/16 * 10/16 * 6/16 * 6/16 * 6/16 + 10/16 * 10/16 * 10/16 * 6/16 * 6/16 = 0.0549$
Per quanto riguarda l'estrazione senza rimessa:
$10/16 * 9/15 * 6/14 * 5/13 * 4/12 + 10/16 * 9/15 * 8/14 * 6/13 * 5/12 = 0.0618$
I risultati del libro sono $0.549$ e $0.618$, cioè entrambi i risultati differiscono dai miei per uno spostamento di virgola. Secondo voi ho sbagliato il ragionamento e di conseguenza i calcoli, oppure i calcoli del libro sono errati?
Risposte
Il ragionamento non è del tutto sbagliato. Solo che facendo in questo modo devi considerare tutti i modi possibili dell'estrazione. Ad esempio l'evento "2 rosse" sarà:
RRBBB
RBRBB
RBBRB
...
Quindi, per la prob. che peschi 2 rosse e 3 bianche è:
$10/16*10/16*6/10*6/10*6/10 *(5!)/(2!3!)$
Dove $(5!)/(2!3!)$ sono le permutazioni con ripetizione ovvero i modi con cui si può verificare un'estrazione di 5 palline con 2 rosse.
Facendo lo stesso ragionamento anche per le altre probabilità ti uscirà il risultato giusto.
RRBBB
RBRBB
RBBRB
...
Quindi, per la prob. che peschi 2 rosse e 3 bianche è:
$10/16*10/16*6/10*6/10*6/10 *(5!)/(2!3!)$
Dove $(5!)/(2!3!)$ sono le permutazioni con ripetizione ovvero i modi con cui si può verificare un'estrazione di 5 palline con 2 rosse.
Facendo lo stesso ragionamento anche per le altre probabilità ti uscirà il risultato giusto.
Leggendo il tuo ragionamento stavo pensando se fosse possibile invece applicare Bernoulli o la legge di probabilità geometrica, secondo te è possibile? Intendo per essere più rapidi nei calcoli..
Beh direi di sicuro non la geometrica. Al massimo potresti utilizzare Bernoulli per il primo esperimento in cui le estrazioni sono indipendenti tra di loro. Anzi, il primo esperimento puoi farlo direttamente con le prove ripetute.
@Jarrod
l'esercizio in questione è strutturato appositamente per utlizzare le distribuzioni note:
- Estrazione con rimessa -> distribuzione binomiale
- Estrazione senza rimessa -> distribuzione ipergeometrica
Di conseguenza, senza fare tanti voli pindarici ottieni quanto segue:
a)
$((5),(2))(10/16)^2(6/16)^3+((5),(3))(10/16)^3(6/16)^2~~0.549$
b)
$(((10),(2))((6),(3))+((10),(3))((6),(2)))/(((16),(5)))~~0.618$
ovviamente sviluppando i calcoli trovi esattamente le formule che ti ha indicato Mide
ciao
l'esercizio in questione è strutturato appositamente per utlizzare le distribuzioni note:
- Estrazione con rimessa -> distribuzione binomiale
- Estrazione senza rimessa -> distribuzione ipergeometrica
Di conseguenza, senza fare tanti voli pindarici ottieni quanto segue:
a)
$((5),(2))(10/16)^2(6/16)^3+((5),(3))(10/16)^3(6/16)^2~~0.549$
b)
$(((10),(2))((6),(3))+((10),(3))((6),(2)))/(((16),(5)))~~0.618$
ovviamente sviluppando i calcoli trovi esattamente le formule che ti ha indicato Mide
ciao
Adesso ho capito, grazie mille @mide e ringrazio soprattutto @tommik perchè con il tuo ragionamento mi ritrovo di più con i miei appunti!
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