Esercizio di Probabilità Condizionata
Buonasera a tutti, posto il primo dei due esercizi che mi stanno facendo uscire pazzo:
Testo dell'esercizio:
In una certa regione vi sono due ditte che producono apparecchi radiofonici. Quelli della fabbrica A sono difettosi con probabilità 0.05, mentre quelli della fabbrica B con probabilità 0.01
Supponi di aver acquistato due radio prodotte dalla stessa ditta, che può essere la A o la B con probabilità del 50%. Se la prima delle due radio è difettosa, qual è la probabilità condizionata che sia difettosa anche la seconda?
... _ _ _ ... Grazie!
Testo dell'esercizio:
In una certa regione vi sono due ditte che producono apparecchi radiofonici. Quelli della fabbrica A sono difettosi con probabilità 0.05, mentre quelli della fabbrica B con probabilità 0.01
Supponi di aver acquistato due radio prodotte dalla stessa ditta, che può essere la A o la B con probabilità del 50%. Se la prima delle due radio è difettosa, qual è la probabilità condizionata che sia difettosa anche la seconda?
... _ _ _ ... Grazie!
Risposte
Qualche idea?
Mah.. in realtà un sacco di idee confuse. Per esempio, definendo gli eventi
\(\displaystyle 1D \): la prima radio è difettosa
\(\displaystyle A \): la radio è stata acquistata dall'azienda A
\(\displaystyle B \): la radio è stata acquistata dall'azienda B
posso scrivere, allora:
\(\displaystyle P(1D)=P(1D|A)\cdot P(A)+P(1D|B)\cdot P(B) \)
Poi, però, non so scrivere la \(\displaystyle P(2D|1D) \), dove ovviamente \(\displaystyle 2D \) rappresenta l'evento:
"la seconda radio è difettosa".
Ho pensato anche di definire diversamente gli eventi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) come:
\(\displaystyle A \): le due radio sono state acquistate dall'azienda A
\(\displaystyle B \): le due radio sono state acquistate dall'azienda B
ma non riesco ad uscirne.
\(\displaystyle 1D \): la prima radio è difettosa
\(\displaystyle A \): la radio è stata acquistata dall'azienda A
\(\displaystyle B \): la radio è stata acquistata dall'azienda B
posso scrivere, allora:
\(\displaystyle P(1D)=P(1D|A)\cdot P(A)+P(1D|B)\cdot P(B) \)
Poi, però, non so scrivere la \(\displaystyle P(2D|1D) \), dove ovviamente \(\displaystyle 2D \) rappresenta l'evento:
"la seconda radio è difettosa".
Ho pensato anche di definire diversamente gli eventi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) come:
\(\displaystyle A \): le due radio sono state acquistate dall'azienda A
\(\displaystyle B \): le due radio sono state acquistate dall'azienda B
ma non riesco ad uscirne.
Con la tua notazione, devi calcolare $P(2D | 1D)$. Per definizione di probab. condizionata:
\[ P(2D | 1D) = \frac{P(1D \wedge 2D)}{P(1D)}\]
Il denominatore lo tratti come hai già osservato. Idem con patate per il numeratore:
\[ P(1D \wedge 2D) = P(1D \wedge 2D|A) P(A) + P(1D \wedge 2D|B) P(B) \]
Se ho interpretato correttamente il testo (non ci giurerei) possiamo immaginare che [al momento dell'acquisto] la prima fabbrica abbia 200 radio delle quali 10 difettose, mentre la seconda ne abbia 200 di cui solo 2 difettose.
Comprare due radio dalla (p.es.) prima fabbrica, equivale a fare 2 estrazioni senza rimessa da un'urna $A$ contente 190 palline bianche e 10 nere. Allora la domanda diventa: che probabilità ho di estrarre 2 palline nere da $A$?
\[ P(2D | 1D) = \frac{P(1D \wedge 2D)}{P(1D)}\]
Il denominatore lo tratti come hai già osservato. Idem con patate per il numeratore:
\[ P(1D \wedge 2D) = P(1D \wedge 2D|A) P(A) + P(1D \wedge 2D|B) P(B) \]
Se ho interpretato correttamente il testo (non ci giurerei) possiamo immaginare che [al momento dell'acquisto] la prima fabbrica abbia 200 radio delle quali 10 difettose, mentre la seconda ne abbia 200 di cui solo 2 difettose.
Comprare due radio dalla (p.es.) prima fabbrica, equivale a fare 2 estrazioni senza rimessa da un'urna $A$ contente 190 palline bianche e 10 nere. Allora la domanda diventa: che probabilità ho di estrarre 2 palline nere da $A$?
possiamo immaginare che [al momento dell'acquisto] la prima fabbrica abbia 200 radio delle quali 10 difettose, mentre la seconda ne abbia 200 di cui solo 2 difettose.
Mi sono fatto questa domanda stupida: chiaramente prendiamo un campione di 200 e non di 100 perchè altrimenti sarebbe impossibile fare lo stesso ragionamento per una percentuale dello 0.01, giusto?
Comprare due radio dalla (p.es.) prima fabbrica, equivale a fare 2 estrazioni senza rimessa da un'urna A contente 190 palline bianche e 10 nere. Allora la domanda diventa: che probabilità ho di estrarre 2 palline nere da A?
Mmm.. direi che la distribuzione di questa probabilità è ipergeometrica con
\(\displaystyle P(X=2)=\frac{\binom{10}{2}\cdot \binom{190}{0}}{\binom{200}{2}}=\frac{45}{19900}=0.002261 \)
Per quanto riguarda la probabilità di estrarre 2 nere da B, analogamente:
\(\displaystyle P(X=2)=\frac{\binom{2}{2}\cdot \binom{198}{0}}{\binom{200}{2}}=\frac{1}{19900}=5.025\cdot 10^{-5} \)
Da cui:
\(\displaystyle P(1D \wedge 2D) = P(1D \wedge 2D|A) P(A) + P(1D \wedge 2D|B) P(B)= \)
\(\displaystyle =0.002261\cdot \frac{1}{2}+5.025\cdot 10^{-5}\cdot \frac{1}{2} =\)
\(\displaystyle =\cong 0.001 \)
Quindi la probabilità cercata è :
\(\displaystyle P(2D | 1D) = \frac{P(1D \wedge 2D)}{P(1D)}= \frac{0.001}{0.03}\cong 0.0\bar{3}\cong 3.3% \)
Mi sembra che fili tutto liscio, ma le soluzioni che ho dicono che il risultato è 4.3%. Sbaglio qualcosa?
Devo dire che non ho inquadrato appieno questo esercizio; credo che l'approccio sia sbagliato. Appena ho un po' di tempo lo guardo con calma, se qualcun altro non si fa sotto prima...
Guarda io sto preparando un esame ora su questi argomenti...quindi guarda la soluzione che ti propongo in modo critico...non prenderla per buona alla cieca! Comunque orientativamente credo che il mio ragionamento funzioni:
Definisco gli eventi:
$ A= {text(radio prodotta da A)} $
$ B= {text(radio prodotta da B)} $
$ C= {text(entrambe le radio difettose)} $
$ D= {text(prima radio difettosa)} $
$ E= {text(seconda radio difettosa)} $
$ F= {text(radio prodotta da A difettosa)} $
$ G= {text(radio prodotta da B difettosa)} $
Ora tu stai cercando $ P(E|D)= (P(ED))/(P(D)) $
Dovrebbe essere corretto dire che $P(ED)=P(C) $ perchè l'intersezione degli eventi "prima radio difettosa" e "seconda radio difettosa" danno l'evento "entrambe le radio difettose". Quindi:
$P(ED)=P(C)$
I dati con questa "notazione" sono:
$P(A)=P(B)=0.5$
$P(F)=0.05 $
$P(G)=0.01 $
Ora cominciamo i pochi conti...
La probabilità che entrambe le radio siano difettose sono nei due casi "prodotte da A" e "prodotte da B":
$ P(C|A)= (0.05)^2=0.0025 $
$P(C|B)= (0.01)^2=0.0001 $
La probabilità che entrambe siano rotte è dunque per il teorema della probabilità totale:
$ P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)*P(B)= 0.0013 $
Inoltre la probabilità che "la prima radio è difettosa" è data da:
$P(D)= P(A)P(F)+P(B)P(G)=0.03 $
Quindi:
$P(E|D)= (P(ED))/(P(D))= (P(C))/(P(D))= 0.0013/0.03=0.04333~ 4.33% $
Spero di aver fatto il ragionamento giusto...se trovi/ate qualche errore...sarebbe bene anche per me (e per il mio prossimo esame!) notarlo...quindi aspetto un riscontro!
Definisco gli eventi:
$ A= {text(radio prodotta da A)} $
$ B= {text(radio prodotta da B)} $
$ C= {text(entrambe le radio difettose)} $
$ D= {text(prima radio difettosa)} $
$ E= {text(seconda radio difettosa)} $
$ F= {text(radio prodotta da A difettosa)} $
$ G= {text(radio prodotta da B difettosa)} $
Ora tu stai cercando $ P(E|D)= (P(ED))/(P(D)) $
Dovrebbe essere corretto dire che $P(ED)=P(C) $ perchè l'intersezione degli eventi "prima radio difettosa" e "seconda radio difettosa" danno l'evento "entrambe le radio difettose". Quindi:
$P(ED)=P(C)$
I dati con questa "notazione" sono:
$P(A)=P(B)=0.5$
$P(F)=0.05 $
$P(G)=0.01 $
Ora cominciamo i pochi conti...
La probabilità che entrambe le radio siano difettose sono nei due casi "prodotte da A" e "prodotte da B":
$ P(C|A)= (0.05)^2=0.0025 $
$P(C|B)= (0.01)^2=0.0001 $
La probabilità che entrambe siano rotte è dunque per il teorema della probabilità totale:
$ P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)*P(B)= 0.0013 $
Inoltre la probabilità che "la prima radio è difettosa" è data da:
$P(D)= P(A)P(F)+P(B)P(G)=0.03 $
Quindi:
$P(E|D)= (P(ED))/(P(D))= (P(C))/(P(D))= 0.0013/0.03=0.04333~ 4.33% $
Spero di aver fatto il ragionamento giusto...se trovi/ate qualche errore...sarebbe bene anche per me (e per il mio prossimo esame!) notarlo...quindi aspetto un riscontro!
Mi sembra che non faccia una piega, e d'altra parte si trova con la soluzione!
C'è una cosa però. L'unico fatto che mi ha distolto dal definire l'evento: "entrambe le radio sono difettose", è che non mi sembrava corretto scrivere:
\(\displaystyle P(C|A)= (0.05)^2=0.0025 \) o
\(\displaystyle P(C|B)= (0.01)^2=0.0001 \)
perchè nella traccia è scritto che le radio A sono difettose con prob. 0.05 e quelle della B con prob. 0.01, ma non è specificato
"l'una indipendentemente dall'altra".
Eppure è un' informazione fondamentale da dare! Non so..non ho ancora capito se si poteva dare per scontato, essendo evidente dal problema, e quindi c'è qualcosa che mi sfugge, oppure c'è una clamorosa mancanza nel testo!
C'è una cosa però. L'unico fatto che mi ha distolto dal definire l'evento: "entrambe le radio sono difettose", è che non mi sembrava corretto scrivere:
\(\displaystyle P(C|A)= (0.05)^2=0.0025 \) o
\(\displaystyle P(C|B)= (0.01)^2=0.0001 \)
perchè nella traccia è scritto che le radio A sono difettose con prob. 0.05 e quelle della B con prob. 0.01, ma non è specificato
"l'una indipendentemente dall'altra".
Eppure è un' informazione fondamentale da dare! Non so..non ho ancora capito se si poteva dare per scontato, essendo evidente dal problema, e quindi c'è qualcosa che mi sfugge, oppure c'è una clamorosa mancanza nel testo!
Sinceramente io credo tu le possa considerare indipendenti. Una radio può essere rotta, al momento in cui la producono, con probabilità 0.05 (o 0.01) indipendentemente da ciò che è successo prima. Più o meno in tutti gli esercizi che ho fatto di questo genere il mio libro dà per scontata l'indipendenza.
Evvabbè...grazie mille, allora.
Ciao a tutti,
questo è il mio primo post sul forum.
Ho trovato la soluzione, spiegata, di questo esercizio, spero vi sia utile: http://www.ma.utexas.edu/users/geir/tea ... wsolns.pdf
Buon studio
Lorenzo
questo è il mio primo post sul forum.
Ho trovato la soluzione, spiegata, di questo esercizio, spero vi sia utile: http://www.ma.utexas.edu/users/geir/tea ... wsolns.pdf
Buon studio
Lorenzo
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