Esercizio di probabilità
Salve a tutti, stavo provando a risolvere il seguente esercizio "Un gruppo organizzato noleggia un autobus di 50 posti tramite un’agenzia che fornisce biglietti singoli ai passeggeri. I passeggeri, tuttavia, accomodandosi scelgono i posti a caso, senza guardare il loro biglietto. Quale e’ la probabilita’ che tutte le persone di un fissato sottogruppo di k elementi siedano nel posto a loro assegnato? In media quante persone siedono al proprio posto?"
Io per risolverlo ho pensato a qualcosa del tipo casi totali 50! , mentre per casi favorevoli $ ( (50), (k) ) $ e quindi trovare la probabilità facendo il rapporto tra casi favorevoli e totali.
Invece questa è la soluzione del prof. "Vi sono 50 posti a disposizione. La probabilita’ che k persone scelgano quello giusto e’ l’inverso di 50 · 49 · · · (50 − k + 1). Sia Ei l’evento ”la persona i-ma siede al suo posto. Pe quanto visto (mettere k = 1) P(Ei) = 1/50. Il numero di persone al loro posto e’dato da N=1E1 +···+1E50 e la media e’ dunque
M(N ) = M (1E1 ) + · · · + M (1E50 ) = 50/50 = 1".
Non riesco a capire questa soluzione, cioè se considero un sottogruppo di 50 persone ottengo che la probabilità è uguale ad 1, è possibile ? Qualcuno mi aiuta a comprenderlo meglio, grazie !
Io per risolverlo ho pensato a qualcosa del tipo casi totali 50! , mentre per casi favorevoli $ ( (50), (k) ) $ e quindi trovare la probabilità facendo il rapporto tra casi favorevoli e totali.
Invece questa è la soluzione del prof. "Vi sono 50 posti a disposizione. La probabilita’ che k persone scelgano quello giusto e’ l’inverso di 50 · 49 · · · (50 − k + 1). Sia Ei l’evento ”la persona i-ma siede al suo posto. Pe quanto visto (mettere k = 1) P(Ei) = 1/50. Il numero di persone al loro posto e’dato da N=1E1 +···+1E50 e la media e’ dunque
M(N ) = M (1E1 ) + · · · + M (1E50 ) = 50/50 = 1".
Non riesco a capire questa soluzione, cioè se considero un sottogruppo di 50 persone ottengo che la probabilità è uguale ad 1, è possibile ? Qualcuno mi aiuta a comprenderlo meglio, grazie !
Risposte
"gino4ever":
Io per risolverlo ho pensato a qualcosa del tipo casi totali 50! , mentre per casi favorevoli $ ( (50), (k) ) $ e quindi trovare la probabilità facendo il rapporto tra casi favorevoli e totali.
Non puoi procedere così.
Questo è un classico problema, o meglio IL problema in cui si usano le dismutazioni
https://it.wikipedia.org/wiki/Dismutazione_(matematica)
(che era quello di cui parlava il prof quando parlava dell'"inverso")
In genere il problema viene proposto in una forma del tipo "hai un questionario di n domande e anche le n risposte ma non sai a quale domanda corrisponde quale risposta. Qual è la prob che appaiando a caso tu possa azzeccare 1,2,3,4,....,n paia?"
Fai qualche ricerca sulle dismutazioni e sul https://it.wikipedia.org/wiki/Principio ... esclusione
Se non ti chiarisci in testa cosa sono, non capirai mai come affrontare questo genere di problemi.
(Anni fa avevo dedotto una formula ricorsiva per calcolare le dismutazioni...ho solo scoperto l'acqua calda ma provaci anche tu!)
ok, vedrò cosa riesco a fare 
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