Esercizio di calcolo delle probabilità
Ciao,
qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
Ho 21 palline, di cui 9 sono rosse e 12 verdi.
Devo sistemare le palline in 7 scatole diverse, ciascuna contenente 3 palline.
Qual è la probabilità di ottenere scatole contenenti solamente palline rosse o verdi?
Grazie
qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
Ho 21 palline, di cui 9 sono rosse e 12 verdi.
Devo sistemare le palline in 7 scatole diverse, ciascuna contenente 3 palline.
Qual è la probabilità di ottenere scatole contenenti solamente palline rosse o verdi?
Grazie
Risposte
Il problema si può modellizzare così: fai 21 estrazioni senza rimessa da un'urna contenente 9 palline rosse e 12 verdi. Le prime tre palline estratte le collochi nella prima scatola, le seconde tre estratte nella seconda scatola e così via...
Chiamando $R_n$ l'evento
\[ R_n : \text{ esce pallina rossa alla $n$-esima estrazione } \]
sei interessata alla probabilità dell'evento $A \vee B$ dove
\[ A = (R_1 \wedge R_2 \wedge R_3 ) \vee ( R_4 \wedge R_5 \wedge R_6 ) \vee ( R_7 \wedge R_8 \wedge R_9 ) \vee ( R_{10} \wedge R_{11} \wedge R_{12} ) \vee ( R_{13} \wedge R_{14} \wedge R_{15} ) \vee ( R_{16} \wedge R_{17} \wedge R_{18} ) \vee ( R_{19} \wedge R_{20} \wedge R_{21} ) \]
\[ B = (\overline{R}_1 \wedge \overline{R}_2 \wedge \overline{R}_3 ) \vee ( \overline{R}_4 \wedge \overline{R}_5 \wedge \overline{R}_6 ) \vee ( \overline{R}_7 \wedge \overline{R}_8 \wedge \overline{R}_9 ) \vee ( \overline{R}_{10} \wedge \overline{R}_{11} \wedge \overline{R}_{12} ) \vee ( \overline{R}_{13} \wedge \overline{R}_{14} \wedge \overline{R}_{15} ) \vee ( \overline{R}_{16} \wedge \overline{R}_{17} \wedge \overline{R}_{18} ) \vee ( \overline{R}_{19} \wedge \overline{R}_{20} \wedge \overline{R}_{21} ) \;.\]
Il conto mi sembra piuttosto impegnativo, però...
Chiamando $R_n$ l'evento
\[ R_n : \text{ esce pallina rossa alla $n$-esima estrazione } \]
sei interessata alla probabilità dell'evento $A \vee B$ dove
\[ A = (R_1 \wedge R_2 \wedge R_3 ) \vee ( R_4 \wedge R_5 \wedge R_6 ) \vee ( R_7 \wedge R_8 \wedge R_9 ) \vee ( R_{10} \wedge R_{11} \wedge R_{12} ) \vee ( R_{13} \wedge R_{14} \wedge R_{15} ) \vee ( R_{16} \wedge R_{17} \wedge R_{18} ) \vee ( R_{19} \wedge R_{20} \wedge R_{21} ) \]
\[ B = (\overline{R}_1 \wedge \overline{R}_2 \wedge \overline{R}_3 ) \vee ( \overline{R}_4 \wedge \overline{R}_5 \wedge \overline{R}_6 ) \vee ( \overline{R}_7 \wedge \overline{R}_8 \wedge \overline{R}_9 ) \vee ( \overline{R}_{10} \wedge \overline{R}_{11} \wedge \overline{R}_{12} ) \vee ( \overline{R}_{13} \wedge \overline{R}_{14} \wedge \overline{R}_{15} ) \vee ( \overline{R}_{16} \wedge \overline{R}_{17} \wedge \overline{R}_{18} ) \vee ( \overline{R}_{19} \wedge \overline{R}_{20} \wedge \overline{R}_{21} ) \;.\]
Il conto mi sembra piuttosto impegnativo, però...
Innanzitutto grazie per la risposta.
Forse il problema è mal posto, ma ora sono davvero in crisi.
Mi spiego. Io stavo pensando ad una soluzione di questo tipo.
calcolare la probabilità di avere scatole contenenti solo palline di un unico colore
è chiaramente equivalente a calcolare la probabilità che ad esempio le palline rosse
finiscano tutte insieme in tre scatole diverse, 3 palline rosse per ciascuna scatola. Modellizzando
come suggerisci tu con le estrazioni, posso calcolare la probabilità di estrarre 9 palline rosse:
$$
\frac{9}{21} \cdots \frac{1}{21-9+1} = \binom{21}{9}^{-1}.
$$
A questo punto moltilico per tutti i modi in cui posso combinare 3 scatole su 7, cioè per
$$\binom{7}{3}.$$
Quindi per me la soluzione sarebbe
$$
\binom{7}{3} \cdot \binom{21}{9}^{-1}
$$
Misa che sono completamente fuori strada
Forse il problema è mal posto, ma ora sono davvero in crisi.
Mi spiego. Io stavo pensando ad una soluzione di questo tipo.
calcolare la probabilità di avere scatole contenenti solo palline di un unico colore
è chiaramente equivalente a calcolare la probabilità che ad esempio le palline rosse
finiscano tutte insieme in tre scatole diverse, 3 palline rosse per ciascuna scatola. Modellizzando
come suggerisci tu con le estrazioni, posso calcolare la probabilità di estrarre 9 palline rosse:
$$
\frac{9}{21} \cdots \frac{1}{21-9+1} = \binom{21}{9}^{-1}.
$$
A questo punto moltilico per tutti i modi in cui posso combinare 3 scatole su 7, cioè per
$$\binom{7}{3}.$$
Quindi per me la soluzione sarebbe
$$
\binom{7}{3} \cdot \binom{21}{9}^{-1}
$$
Misa che sono completamente fuori strada
Non ti scoraggiare. 
Non mi è molto chiaro questo ragionamento qui. Potresti dare qualche chiarimento in più?
"Emma90":
Modellizzando
come suggerisci tu con le estrazioni, posso calcolare la probabilità di estrarre 9 palline rosse:
$$
\frac{9}{21} \cdots \frac{1}{21-9+1} = \binom{21}{9}^{-1}.
$$
Non mi è molto chiaro questo ragionamento qui. Potresti dare qualche chiarimento in più?
Dunque vediamo se riesco. Io voglio che le 9 palline rosse finiscano tutte insieme in 3 scatole qualsiasi.
All'inizio "fisso" tre scatole e calcolo la probabilità che la prima pallina finisca in una di queste, cioè
$9/21$; la stessa cosa con la seconda pallina ottenendo $8/20$; e così fino all'ultima con $1/13$.
Così ottengo quello che ho scritto su
\[ \frac{9}{21} \cdots \frac{1}{21-9+1} = \binom{21}{9}^{-1}. \]
All'inizio "fisso" tre scatole e calcolo la probabilità che la prima pallina finisca in una di queste, cioè
$9/21$; la stessa cosa con la seconda pallina ottenendo $8/20$; e così fino all'ultima con $1/13$.
Così ottengo quello che ho scritto su
\[ \frac{9}{21} \cdots \frac{1}{21-9+1} = \binom{21}{9}^{-1}. \]
Il problema - correggimi se sbaglio - è che l'evento "almeno una delle scatole è composta da palline di un solo colore", che, da quel che hai scritto all'inizio, sembra l'evento che ci interessa, è diverso dall'evento "ci sono esattamente 3 scatole composte di palline di un solo colore"...
Guarda lo so che ho scritto male l'esercizio, perchè in realtà il problema originario
era un pochino più complesso. Quindi riscrivendolo a parole mie
non mi sono espressa bene, evidentemente, mi spiace.
Cmq io non avevo scritto "almeno una delle scatole..."
Quello che voglio calcolare è proprio la probabilità che le palline
dei due diversi colori siano perfettamente "separate" e che non ci siano scatole
con palline sia rosse che verdi.
era un pochino più complesso. Quindi riscrivendolo a parole mie
non mi sono espressa bene, evidentemente, mi spiace.
Cmq io non avevo scritto "almeno una delle scatole..."
Quello che voglio calcolare è proprio la probabilità che le palline
dei due diversi colori siano perfettamente "separate" e che non ci siano scatole
con palline sia rosse che verdi.
Ehh, allora la storia cambia... Concordo con il tuo ragionamento. 
Ciao.
Secondo me il calcolo corretto è il seguente:
$(9!*12!)/(21!)*(7!)/(3!*4!)$
Che probabilmente coincide con la soluzione prospettata da Emma.....
Secondo me il calcolo corretto è il seguente:
$(9!*12!)/(21!)*(7!)/(3!*4!)$
Che probabilmente coincide con la soluzione prospettata da Emma.....
Grazie mille ad entrambi per l'aiuto.
La prossima volta cercherò di essere più chiara.
Emma
La prossima volta cercherò di essere più chiara.
Emma
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