Esercizio di calcolo combinatorio (3 classi da n studenti)
Buongiorno,
sto affrontando un esercizio di calcolo combinatorio e, nonostante dovrebbe essere semplice, non riesco a capire la logica di alcuni risultati; il testo è il seguente:
Consideriamo 3 classi composte ciascuna da n studenti. Si scelgono 3 studenti da questo
gruppo di 3n studenti.
(a) In quanti casi soltanto due dei tre studenti appartengono alla stessa classe?
(b) In quanti casi tutti gli studenti appartengono a classi diverse?
La soluzione dice:
(a) $ ( (3 ), (1 ) ) $ $ ( (2 ), (1 ) ) $ $ ( (n ), (2 ) ) $ $ ( (n ), (1 ) ) $
(b) \(\displaystyle n^3 \)
Non mi è chiara la logica per arrivare a queste risposte, in particolare l'uso del binomiale spesso e volentieri mi crea confusione
.
Poi nella (b) perché viene usata una \(\displaystyle 3-sequenze\) di \(\displaystyle I_n\)? Vorrebbe dire che nei raggruppamenti conta l'ordine e che gli studenti possono ripetersi, ma che senso ha?
Grazie per l'eventuale aiuto.
sto affrontando un esercizio di calcolo combinatorio e, nonostante dovrebbe essere semplice, non riesco a capire la logica di alcuni risultati; il testo è il seguente:
Consideriamo 3 classi composte ciascuna da n studenti. Si scelgono 3 studenti da questo
gruppo di 3n studenti.
(a) In quanti casi soltanto due dei tre studenti appartengono alla stessa classe?
(b) In quanti casi tutti gli studenti appartengono a classi diverse?
La soluzione dice:
(a) $ ( (3 ), (1 ) ) $ $ ( (2 ), (1 ) ) $ $ ( (n ), (2 ) ) $ $ ( (n ), (1 ) ) $
(b) \(\displaystyle n^3 \)
Non mi è chiara la logica per arrivare a queste risposte, in particolare l'uso del binomiale spesso e volentieri mi crea confusione
.Poi nella (b) perché viene usata una \(\displaystyle 3-sequenze\) di \(\displaystyle I_n\)? Vorrebbe dire che nei raggruppamenti conta l'ordine e che gli studenti possono ripetersi, ma che senso ha?
Grazie per l'eventuale aiuto.
Risposte
"Banzai":
(a) In quanti casi soltanto due dei tre studenti appartengono alla stessa classe?
Scegliamo una classe da ignorare.
Fra le due classi rimaste, scegliamo quella dalla quale prenderemo due studenti.
Scegliamo due studenti da quella classe.
Scegliamo uno studente dall'altra classe.
"Banzai":
(b) In quanti casi tutti gli studenti appartengono a classi diverse?
Scegliamo uno studente della prima classe, uno della seconda, uno della terza.
Poi per controllare... in quanti modi ci troviamo con 3 studenti della stessa classe?
La somma di tutti i valori che abbiamo calcolato è giusta?
La somma di tutti i valori che abbiamo calcolato è giusta?
Grazie per aver risposto!
Scritto così mi è chiaro. Purtroppo molto spesso non trovo il modo corretto di procedere...
Alla (b) avrei anche potuto rispondere $ ( ( n), (1 ) ) $ $ ( ( n), (1 ) ) $ $ ( ( n), (1 ) ) $? Cioè scelgo uno studente in una classe, uno nell'altra classe e l'ultimo nella classe rimanente.
Perché scritto come \(\displaystyle n^3 \) mi sembra una \(\displaystyle 3−sequenze \) di \(\displaystyle I_n \) e dalle proprietà di quest'ultima non ci vedo il senso, soprattutto che gli studenti potrebbero ripetersi e che dovrebbe contare l'ordine...
A ciò rispondo con \(\displaystyle 3 \) $ ( ( n), (3 ) ) $, cioè scelgo 3 studenti da una classe e il prodotto per 3 indica che la scelta è possibile anche per le altre due classi.
Qui non ho ben capito cosa intendi.
"ghira":
Scegliamo una classe da ignorare.
Fra le due classi rimaste, scegliamo quella dalla quale prenderemo due studenti.
Scegliamo due studenti da quella classe.
Scegliamo uno studente dall'altra classe.
Scritto così mi è chiaro. Purtroppo molto spesso non trovo il modo corretto di procedere...
Alla (b) avrei anche potuto rispondere $ ( ( n), (1 ) ) $ $ ( ( n), (1 ) ) $ $ ( ( n), (1 ) ) $? Cioè scelgo uno studente in una classe, uno nell'altra classe e l'ultimo nella classe rimanente.
Perché scritto come \(\displaystyle n^3 \) mi sembra una \(\displaystyle 3−sequenze \) di \(\displaystyle I_n \) e dalle proprietà di quest'ultima non ci vedo il senso, soprattutto che gli studenti potrebbero ripetersi e che dovrebbe contare l'ordine...
"ghira":
Poi per controllare... in quanti modi ci troviamo con 3 studenti della stessa classe?
A ciò rispondo con \(\displaystyle 3 \) $ ( ( n), (3 ) ) $, cioè scelgo 3 studenti da una classe e il prodotto per 3 indica che la scelta è possibile anche per le altre due classi.
"ghira":
La somma di tutti i valori che abbiamo calcolato è giusta?
Qui non ho ben capito cosa intendi.
"Banzai":
[quote="ghira"]La somma di tutti i valori che abbiamo calcolato è giusta?
Qui non ho ben capito cosa intendi.[/quote]
In quanti modi possiamo scegliere tre studenti senza restrizioni? La somma dei valori che abbiamo calcolato è uguale a questo numero? Se la risposta è "no" abbiamo sbagliato qualcosa. (Se è "sì", magari abbiamo commesso degli errori meno lampanti.)
"Banzai":
Alla (b) avrei anche potuto rispondere $ ( ( n), (1 ) ) $ $ ( ( n), (1 ) ) $ $ ( ( n), (1 ) ) $?
È la stessa cosa, no?
Si certo, risulta essere la stessa cosa, ma a livello logico lo associo a due concetti differenti:
\(\displaystyle n^3 \) mi ricorda una disposizione con ripetizione o equivalentemente una \(\displaystyle 3−sequenze \) di \(\displaystyle I_n \), in cui l'ordine conta; invece l'uso del binomiale riporta ad una combinazione semplice, in cui l'ordine non ha importanza e gli oggetti sono tutti distinti.
\(\displaystyle n^3 \) mi ricorda una disposizione con ripetizione o equivalentemente una \(\displaystyle 3−sequenze \) di \(\displaystyle I_n \), in cui l'ordine conta; invece l'uso del binomiale riporta ad una combinazione semplice, in cui l'ordine non ha importanza e gli oggetti sono tutti distinti.
"Banzai":
Si certo, risulta essere la stessa cosa, ma a livello logico lo associo a due concetti differenti:
\(\displaystyle n^3 \) mi ricorda una disposizione con ripetizione o equivalentemente una \(\displaystyle 3−sequenze \) di \(\displaystyle I_n \), in cui l'ordine conta; invece l'uso del binomiale riporta ad una combinazione semplice, in cui l'ordine non ha importanza e gli oggetti sono tutti distinti.
Non so cosa dirti.
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