Esercizio di Calcolo combinatorio
Eccomi alle prese con un nuovo esercizio di calcolo combinatorio.
Testo:
Nove libri (tre di matematica, tre di zoologia e tre di chimica) si devono disporre su uno scaffale che può contenerne solo cinque. In quanti modi è possibile farlo, se si vuole che ogni materia sia rappresentata e che i volumi di una stessa materia siano vicini?
Svolgimento:
Dato che non ho ancora molta familiarità con l'uso delle tecniche di calcolo combinatorio ci ho messo un pò di tempo per trovare la soluzione (ammesso che sia quella giusta), per questo motivo vorrei un consiglio anche da voi.
Chiamo $M_i, C_i, Z_i$ rispettivamente i libri di matematica, chimica e zoologia, e ho studiato le configurazioni possibili:
1°caso: studio le configurazioni in cui fisso 3 libri della stessa materia e ad esempio
$M_1,M_2,M_3,C,Z$ e ho in totale ($3*2*1*3*3=54$) modi e dato che voglio calcolare anche gli altri modi di disporre i libri, chiamo $M=(M_1,M_2,M_3)$ (in blocco) e studio tutte le possibili permutazioni su 3 oggetti cioè 6 allora ho $6*54$ modi fissando i 3 libri di matematica. Per analogia stesso discorso vale se fisso i $C_i$ e gli $Z_i$, dunque in totale ho $6*54*3=972$ modi possibili.
2°caso: studio le configurazioni in cui fisso due libri della stessa materia e ho ad esempio:
$M_1,M_2,C_1,C_2,Z$ e ho in totale ($3*2*3*2*3=108$) modi se chiamo $M$ il blocco dei due libri di matematica e con $C$ il blocco dei due libri di chimica allora ho sei permutazioni, e facendo lo stesso discorso ragionando sulle coppie (mat-chim ; mat-zool - chimi-zool) ho in totale $108*6*3=1944$
Dunque in totale ho $1944+972=2916$ casi possibili.
Ho qualche dubbio....
Testo:
Nove libri (tre di matematica, tre di zoologia e tre di chimica) si devono disporre su uno scaffale che può contenerne solo cinque. In quanti modi è possibile farlo, se si vuole che ogni materia sia rappresentata e che i volumi di una stessa materia siano vicini?
Svolgimento:
Dato che non ho ancora molta familiarità con l'uso delle tecniche di calcolo combinatorio ci ho messo un pò di tempo per trovare la soluzione (ammesso che sia quella giusta), per questo motivo vorrei un consiglio anche da voi.
Chiamo $M_i, C_i, Z_i$ rispettivamente i libri di matematica, chimica e zoologia, e ho studiato le configurazioni possibili:
1°caso: studio le configurazioni in cui fisso 3 libri della stessa materia e ad esempio
$M_1,M_2,M_3,C,Z$ e ho in totale ($3*2*1*3*3=54$) modi e dato che voglio calcolare anche gli altri modi di disporre i libri, chiamo $M=(M_1,M_2,M_3)$ (in blocco) e studio tutte le possibili permutazioni su 3 oggetti cioè 6 allora ho $6*54$ modi fissando i 3 libri di matematica. Per analogia stesso discorso vale se fisso i $C_i$ e gli $Z_i$, dunque in totale ho $6*54*3=972$ modi possibili.
2°caso: studio le configurazioni in cui fisso due libri della stessa materia e ho ad esempio:
$M_1,M_2,C_1,C_2,Z$ e ho in totale ($3*2*3*2*3=108$) modi se chiamo $M$ il blocco dei due libri di matematica e con $C$ il blocco dei due libri di chimica allora ho sei permutazioni, e facendo lo stesso discorso ragionando sulle coppie (mat-chim ; mat-zool - chimi-zool) ho in totale $108*6*3=1944$
Dunque in totale ho $1944+972=2916$ casi possibili.
Ho qualche dubbio....
Risposte
Ti propongo la mia soluzione, vedrò poi la tua...
Si può modellare almeno in 2 modi, utilizzando disposizioni e combinazioni classiche ma che non sono riuscito a modellare bene, mi torna un risultato differente. oppure suddividendolo in sottoproblemi più elementari:
lo scaffale è suddiviso in 5 slot:
1. può avere 9 possibilità dei libri
2. può avere 3: 2 stessa materia oppure 1 di un'altra
3. può avere 2: 1 stessa materia 1 un'altra
4. può avere 6: 2 materie rimanenti
5. può avere 5: 2 stessa materia e 3 l'altra.
Quindi: $9*3*2*6*5 = 1620$
salvo errori.
Si può modellare almeno in 2 modi, utilizzando disposizioni e combinazioni classiche ma che non sono riuscito a modellare bene, mi torna un risultato differente. oppure suddividendolo in sottoproblemi più elementari:
lo scaffale è suddiviso in 5 slot:
1. può avere 9 possibilità dei libri
2. può avere 3: 2 stessa materia oppure 1 di un'altra
3. può avere 2: 1 stessa materia 1 un'altra
4. può avere 6: 2 materie rimanenti
5. può avere 5: 2 stessa materia e 3 l'altra.
Quindi: $9*3*2*6*5 = 1620$
salvo errori.
"Lorin":
Ho qualche dubbio....
a me sembra perfetto....
qualche dubbio sul ragionamento di hamming, che non ho manco capito benissimo..
Grazie Umby, detto da te che ormai sei il mio "mentore" 
è un onore!
Per quanto riguarda quello di Hamming neanche io l'ho capito benissimo.
è un onore!Per quanto riguarda quello di Hamming neanche io l'ho capito benissimo.
ora sono un po' di fretta ma:
Non riuscendo a risolverlo con le disposizioni, mi sembrava più facile risolverlo con il modello della distribuzione delle carte.
Guardando lo svolgimento di Lorin è lo stesso principio, solo che sembra abbia sbagliato una moltiplicazione il quinto libro deve esser scelto come il secondo.
$9*3*2*6*3 = 972$
mi sembra che manchi qualcosa, vabbè...
"Umby":
qualche dubbio sul ragionamento di hamming, che non ho manco capito benissimo..
Non riuscendo a risolverlo con le disposizioni, mi sembrava più facile risolverlo con il modello della distribuzione delle carte.
Guardando lo svolgimento di Lorin è lo stesso principio, solo che sembra abbia sbagliato una moltiplicazione il quinto libro deve esser scelto come il secondo.
$9*3*2*6*3 = 972$
mi sembra che manchi qualcosa, vabbè...
"hamming_burst":
mi sembra che manchi qualcosa, vabbè...
non penso che la tua strada ti porti alla soluzione,
ritengo che devi necessariamente trattare separatamente i due casi [3-1-1] [2-2-1]
Nuovo esercizio di calcolo delle probabilità:
Testo:
In quanti modi sei amici (A,B,C,D,E,F) possono disporsi intorno a un tavolo rettangolare a otto posti in modo tale che:
(a)A e B capitino vicini
(b)I due posti liberi siano separati esattamente da un posto occupato
?
Svolgimento:
Ho provato a visualizzare la cosa disegnando un rettangolo e posizionando le persone intorno ad esso seguendo le indicazioni poste nel problema. Per semplicità ho chiamato la $H=(A,B)$ dato che devono stare sempre vicini. Dunque immaginando un rettangolo una configurazione che verifica le ipotesi è del tipo: H-C-D-E-x-F-x (dove con x ho indicato lo spazio vuoto). Per rispondere alla domanda ho pensato di calcolare:
1)Numero possibile di permutazioni delle cinque lettere (H,C,D,E,F) $5!$
2)Moltiplicare il tutto per il numero possibile di disposizioni che verificano le condizioni (a) e (b), cioè:
HCDExFx
xHCDExF
FxHCDEx
xFxHCDE
ExFxHCD
DExFxHC
CDExFxH
dunque abbiamo $7*120=840$ modi.
Può andare?!
Testo:
In quanti modi sei amici (A,B,C,D,E,F) possono disporsi intorno a un tavolo rettangolare a otto posti in modo tale che:
(a)A e B capitino vicini
(b)I due posti liberi siano separati esattamente da un posto occupato
?
Svolgimento:
Ho provato a visualizzare la cosa disegnando un rettangolo e posizionando le persone intorno ad esso seguendo le indicazioni poste nel problema. Per semplicità ho chiamato la $H=(A,B)$ dato che devono stare sempre vicini. Dunque immaginando un rettangolo una configurazione che verifica le ipotesi è del tipo: H-C-D-E-x-F-x (dove con x ho indicato lo spazio vuoto). Per rispondere alla domanda ho pensato di calcolare:
1)Numero possibile di permutazioni delle cinque lettere (H,C,D,E,F) $5!$
2)Moltiplicare il tutto per il numero possibile di disposizioni che verificano le condizioni (a) e (b), cioè:
HCDExFx
xHCDExF
FxHCDEx
xFxHCDE
ExFxHCD
DExFxHC
CDExFxH
dunque abbiamo $7*120=840$ modi.
Può andare?!
Allora ragazzi, oggi sono andato dal prof per la correzione degli esercizi e lui mi ha detto che il risultato è $8*8*4!$, ma io non molto convinto o almeno in parte. Ci ho pensato un pò su e vi riformulo il ragionamento:
1)Ho in totale 8 modi di disporre gli amici intorno al tavolo e sono:
ABCDEXFX
XABCDEXF
FXABCDEX
XFXABCDE
EXFXABCD
DEXFXABC
CDEXFXAB
BCDEXFXA
Ora mi calcolo il modo in cui fissata ad esempio la prima configurazione, muovo soltanto la coppia AB:
AB-CDEXFX
F-AB-CDXEX
EF-AB-CXDX
DEF-AB-XCX
Ne sono 4 ma devo anche tener conto delle coppie BA, quindi in totale 8. Ed infine moltiplico per le possibili permutazioni dei quattro amici, dunque $4!$, quindi in totale $1536$
Che ne dite? Aspetto vostri pareri
1)Ho in totale 8 modi di disporre gli amici intorno al tavolo e sono:
ABCDEXFX
XABCDEXF
FXABCDEX
XFXABCDE
EXFXABCD
DEXFXABC
CDEXFXAB
BCDEXFXA
Ora mi calcolo il modo in cui fissata ad esempio la prima configurazione, muovo soltanto la coppia AB:
AB-CDEXFX
F-AB-CDXEX
EF-AB-CXDX
DEF-AB-XCX
Ne sono 4 ma devo anche tener conto delle coppie BA, quindi in totale 8. Ed infine moltiplico per le possibili permutazioni dei quattro amici, dunque $4!$, quindi in totale $1536$
Che ne dite? Aspetto vostri pareri
"Lorin":
Che ne dite? Aspetto vostri pareri
A me sembra perfetto.
Tengo, tuttavia, a precisare che hai considerato anche la disposizione degli 8 posti a sedere oltre che la disposizione dei 6 amici:
Mi spiego meglio:
la disposizione [ABxCxDEF] l'hai considerata 8 volte, ovvero:
[ABxCxDEF] [BxCxDEFA] [xCxDEFAB] [CxDEFABx] [xDEFABxC] [DEFABxCx] [EFABxCxD] [FABxCxDE]
(in effetti ho fatto roteare gli 8 elementi, intorno al tavolo, senza spostarli di posizione...)
dobbiamo considerare che il tavolo non ha una testa e un piede, ma possiamo considerarlo "continuo" (immagina un tavolo rotondo, anche se nel testo si parla di tavolo rettangolare, ma non cambia molto il concetto)
pertanto potrei aspettarmi che il tuo prof. ti dica che il risultato corretto possa essere $1536/8$
"Umby":
pertanto potrei aspettarmi che il tuo prof. ti dica che il risultato corretto possa essere $1536/8$
Lo stesso risultato lo ottieni con:
"Inchiodiamo" A e B in due posti adiacenti.
- Invertiamo A e B tra loro (2)
- Negli altri 6 posti, due posti liberi devono essere intermezzati da uno occupato (si tratta di un blocco di 3). Possiamo shiftare il blocco nelle 6 posizioni (6 - 3 + 1) 4 volte
- Gli altri 4 posti disponibili verranno occupati da CDFE (4!)
Ris. $2 * 4 * 24 = 192$
Capisco!
Anche a me in effetti sembrano troppi come casi, ma anche il prof mi ha fatto capire che $1536$ va bene come risultato. Comunque ci riparlerò...
Anche a me in effetti sembrano troppi come casi, ma anche il prof mi ha fatto capire che $1536$ va bene come risultato. Comunque ci riparlerò...
"Lorin":
Comunque ci riparlerò...
Cerca di convincerlo..
Digli del tavolo rotondo.. (così è più chiaro che non ci sono differenze tra gli 8 posti)
Digli che nelle 8 disposizioni ogni elemento ha alla sua destra sempre la stessa persona, cosi' come la sinistra...
In realtà quando io faccio $8*8$ è come se stessi contando due volte le disposizioni dei commensali intorno al tavolo, quindi a me basta $8*24$
Allora sono andato dal prof e lui mi ha detto che secondo il suo punto di vista i possibili modi sono 1536, io gliel'ho spiegato il tuo punto di vista ma lui insisteva con il suo metodo e quindi vabbè
La mia è stata una semplice osservazione, infatti ho iniziato con il dirti:
Il fatto che ti poni un problema ( e lo metti in evidenza ) lo trovo comunque positivo.
Un secondo esempio:
Un falegname sta costruendo una speciale roulette per bambini, con i numeri che vanno da 1 a 10. Dopo aver costruito i 10 numeri li deve assemblare insieme per costruire il "cerchio". In quanti modi diversi può disporre i 10 numeri ?
p.s. il prof. non partecipa al forum ?
"Umby":
A me sembra perfetto.
Tengo, tuttavia, a precisare ......omissis
pertanto potrei aspettarmi che .....omissis
Il fatto che ti poni un problema ( e lo metti in evidenza ) lo trovo comunque positivo.
Un secondo esempio:
Un falegname sta costruendo una speciale roulette per bambini, con i numeri che vanno da 1 a 10. Dopo aver costruito i 10 numeri li deve assemblare insieme per costruire il "cerchio". In quanti modi diversi può disporre i 10 numeri ?
p.s. il prof. non partecipa al forum ?
Quando devo distribuirli in cerchio se non sbaglio basta fissare un bambino e gli altri nove li muovo come mi pare, quindi dovrebbero essere $9!$ i modi di disporre i bambini.
No no non partecipa
No no non partecipa
"Lorin":
Quando devo distribuirli in cerchio se non sbaglio basta fissare un bambino e gli altri nove li muovo come mi pare, quindi dovrebbero essere $9!$ i modi di disporre i bambini.
No no non partecipa
il tuo prof. avrebbe detto $10!$
Hahahahah...
Speriamo che corregga la prova scritta con un pò di ragionamento ù_ù
Speriamo che corregga la prova scritta con un pò di ragionamento ù_ù
Ho volutamente parlare di una situazione "rotonda" anzichè "rettangolare" (come nel caso del tavolo dell esercizio), proprio perchè il tavolo rotondo rende meglio l'idea che tutti i posti sono uguali tra loro 
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo