Esercizio densità v.a.

[lory91y]

Salve a tutti, stavo esercitandomi con alcuni esercizi sulla densità discreta,media e varianza, ma non riesco a comprendere bene il significato di questo esercizio, vi riporto il testo:
Due tetraedri con facce numerate da 1 a 4 vengono lanciati.Sia \(\displaystyle X \) la v.a. che rappresenta il massimo risultato uscito; Qual'è la densità di \(\displaystyle X \)? quanto vale \(\displaystyle E(X) \) e \(\displaystyle Var(X) \)?

Avevo cominciato l'esercizio, in totale avremo 16 combinazioni delle somme, per cui avremo una matrice

- | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Quindi essendo la v.a. \(\displaystyle X = 8 \) poichè il massimo risultato è 4 nel primo tetraedro e 4 nel secondo tetraedro, allora la densità di probabilità di ottenere 4 in tutti e due i tretraedri è data da \(\displaystyle P(X = 8) = 1/ 16 \)

oppure sto sbagliato a comprendere il testo dell'esercizio? cioè ho dei dubbi per quanto riguarda il " X rappresenta il massimo risultato uscito" voi cosa ne pensate? vi ringrazio in anticipo!

[stormy1]

provo a dare una mia interpretazione : penso che che con "massimo risultato" intenda il più alto(magari a pari merito) dei 2 valori dei 2 tetraedri
quindi la v.c. assume valori da 1 a 4

[lory91y]

quindi secondo la tua interpretazione sarebbe che \(\displaystyle X \) possa prendere valori da 1 a 4 e quindi i possibili valori della \(\displaystyle X \) sono tutte le 7 combinazioni ovvero \(\displaystyle (1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1) \) ? sembra un pò più ragionevole...

[stormy1]

però aspetta,i possibili valori non sono coppie ma singoli numeri
ad esempio alla coppia (1,3) corrisponde 3,alla coppia (4,4) corrisponde 4(pari merito) ,etc..

[giuspeppe94]

Innanzitutto può fare comodo descrivere esplicitamente lo spazio di probabilità (non servirà parlare di sigma-algebra) su cui "poggia" la variabile aleatoria. Prendiamo $S$, lo spazio campionario, come $S=\{ (a,b) \ t.c. \ a,b \ \in \mathbb{N}, \ 1 \leq a,b \leq 4 \}$, ovvero $S$ è l'insieme delle possibili coppie ordinate di numeri che escono lanciando i due tetraedri (posso supporli ordinati, facciamo ad esempio che considero come primo numero della coppia quello che esce dal mio tetraedro preferito). Prendiamo la probabilità $\mathbb{P}$ uniforme su $S$ (tutti i lanci sono equiprobabili e hanno tutti probabilità $\frac{1}{16}$ di verificarsi). Ora, la variabile aleatorie $X:S \rightarrow \mathbb{R}$ (una variabile aleatoria dà come risultato sempre un numero reale) è quella che dice stormy, ad esempio:
$ X(1,3) = 3$
$X(2,2) = 2$
Ad ogni coppia associa l'elemento più grande della coppia (entrambi se gli elementi sono uguali). Determiniamo la densità:
$p_1 = \mathbb{P}(X=1) = \mathbb{P}(1,1) = \frac{1}{16}$
$p_2 = \mathbb{P}(X=2) = \mathbb{P}((2,2);(2,1);(1,2)) = \frac{3}{16}$
$p_3 = \mathbb{P}(X=3) = \frac{5}{16}$
$p_4 = \mathbb{P}(X=4) = 1-p_1-p_2-p_3 = \frac{7}{16}$
Questa parte è facile, pure quella dopo:
$E[X] = p_1 + 2p_2 + 3p_3 + 4p_4 = \frac{25}{8}$
Per la varianza:
$E[X^2] = p_1 + 4p_2 + 9p_3 + 16p_4 = \frac{85}{8}$
$Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{55}{64}$

[lory91y]

eccellente! ora è tutto chiaro! grazie moltissimo!