[Esercizio densità] Tempo di vita valvole

[Magma1]

Buonasera,

Il tempo di vita in ore di un certo tipo di valvola termoionica è una variabile aleatoria con funzione di densità come segue:

${ ( 0, if x<=100 ),( 100x^(-2), if x>100 ):}$

Qual è la probabilità che esattamente $2$, su $5$ esemplari di tali valvole, debbano essere sostituite nelle prime $150$ ore di funzionamento? Si supponga che i cinque eventi $E_i$, $i=1,...,5$, siano tutti indipendenti.

Allora io so ricavare

$P(E_i)=int_0^150 f(x) dx=100int_100^150 x^(-2) dx=-100* x^(-1)|_100^150=100*(100^(-1)-150^(-1))=1/3$

Ora $2$ su $5$ lo scrivo come coefficiente binomiale $((5),(2))$, però non so come impostare il calcolo della probabilità richiesta...

Io avevo pensato a qualcosa come $P(E_1 nn E_2)=P(E_1)P(E_2)=((5),(2)) (1/3) (1/3)$

mentre il risultato riportato risulta essere $((5),(2)) (1/3)^2 (2/3)^3=80/243$


EDIT: Ho notato che la soluzione è del tipo $((n),(i)) p^i(1-p)^(n-i)$; tuttavia vorrei saper in quale altro modo si può giungere allo stesso risultato senza far uso della distribuzione binomiale.

[Lo_zio_Tom]

Calcolando la probabilità di un singolo evento favorevole (2 lampade fuori uso su 5) ovvero, per l'indipendenza:

$1/3 1/3 2/3 2/3 2/3=(1/3)^2(2/3)^3$ e contando tutti i casi favorevoli (tutte le combinazioni con due lampade rotte su 5) $rarr ((5),(2))$

[Magma1]

Arigatou gozaimasu!