[Esercizio Densità discreta] Funzionamento transistor
Una scatola di transistor ne contiene $5$, dei quali sappiamo che $3$ sono difettosi. I transistor devono essere testati, uno alla volta, fino a che quelli difettosi vengono individuati. Denotiamo con $N_1$ il numero di test fatti per trovare il primo transistor difettoso e con $N_2$ il numero di ulteriori test necessari per trovare il secondo transistor difettoso. Si determini la densità discreta congiunta di $N_1,N_2$.
Quindi ho $5$ transistor di cui ${ ( 2 \text{ funzionananti} ),( 3 \text{ difettosi} ):}$
Posto che $P(N_i, N_j)=p(i,j)$; io ho pensato di ricavare così
$p(1,1)=(((2),(1)) ((3),(1)) )/(((5),(2)))=3/5 ne 3/10$
$p(1,2)=(((2),(1)) ((3),(2)) )/(((5),(3)))=3/5 ne 1/5$
$p(1,3)=(((2),(1)) ((3),(3)) )/(((5),(4)))=2/5 ne 1/10$
$p(1,2)=(((2),(1)) ((3),(2)) )/(((5),(3)))=3/5 ne 1/5$
$p(1,3)=(((2),(1)) ((3),(3)) )/(((5),(4)))=2/5 ne 1/10$
Quindi deduco che a denominatore dovrei avere $((n),(i))*i$, però perché? Il coefficiente binomiale non tiene conto delle permutazioni dei transistor, quindi tutte le $i$ classi prese da $n$ dovrebbero già essere distinte...
Risposte
Nel corpo della tabella c'è la distribuzione discreta bivariata; ai margini, le distribuzioni marginali di $N_1$ e $N_2$
ciao
La soluzione del libro è la seguente
era quella che avevo fatto io prima. Poi mi sono corretto perchè leggendo il testo dice:
quindi quando ne trovi due non difettosi non serve fare il terzo test
ad esempio, partiamo con $N_1$:
Io posso fare un test e trovare subito il difettoso $rarr p(1)=3/5$. A questo punto nella scatola ho 4 transistor, 2 buoni e due difettosi. Fai i conti e vedi che è equiprobabile trovare il transistor difettoso al primo o al secondo test.
oppure posso fare due test trovandone:
1 non difettoso e uno difettoso (e mi fermo), $p=3/10$. A questo punto (N_2) mi trovo con una scatola con 2 transistor difettosi e un buono. Per forza di cose $N_2=1$ perché, o trovo il transistor difettoso al primo colpo, oppure trovo quello funzionante e mi fermo perché nella scatola a questo punto ci sono solo due transistor difettosi.
ma posso anche trovarne 2 non difettosi ($p=1/10$) e mi fermo lo stesso, perché a questo punto nella scatola ho solo transistor difettosi e quindi non serve il terzo test. E' evidente che qui $N_2=0$ perché nella scatola abbiamo solo i 3 transistor difettosi.
Quindi ritengo più corretta la mia soluzione.
Se invece la traccia fosse questa:
allora avrebbe ragione il testo. Purtroppo capita che traducano gli esercizi dall'inglese con traduzioni poco fedeli e in questi esercizi, un avverbio, un termine in più o in meno fa la differenza.
sei d'accordo?
Una scatola di transistor ne contiene $5$, dei quali sappiamo che $3$ sono difettosi. I transistor devono essere testati, uno alla volta, fino a che quelli difettosi vengono individuati.
quindi quando ne trovi due non difettosi non serve fare il terzo test
ad esempio, partiamo con $N_1$:
Io posso fare un test e trovare subito il difettoso $rarr p(1)=3/5$. A questo punto nella scatola ho 4 transistor, 2 buoni e due difettosi. Fai i conti e vedi che è equiprobabile trovare il transistor difettoso al primo o al secondo test.
oppure posso fare due test trovandone:
1 non difettoso e uno difettoso (e mi fermo), $p=3/10$. A questo punto (N_2) mi trovo con una scatola con 2 transistor difettosi e un buono. Per forza di cose $N_2=1$ perché, o trovo il transistor difettoso al primo colpo, oppure trovo quello funzionante e mi fermo perché nella scatola a questo punto ci sono solo due transistor difettosi.
ma posso anche trovarne 2 non difettosi ($p=1/10$) e mi fermo lo stesso, perché a questo punto nella scatola ho solo transistor difettosi e quindi non serve il terzo test. E' evidente che qui $N_2=0$ perché nella scatola abbiamo solo i 3 transistor difettosi.
Quindi ritengo più corretta la mia soluzione.
Se invece la traccia fosse questa:
Una scatola contiene $5$ transistor, $3$ dei quali sono difettosi. I transistor devono essere testati, uno alla volta, fino a che quelli difettosi vengono individuati.
allora avrebbe ragione il testo. Purtroppo capita che traducano gli esercizi dall'inglese con traduzioni poco fedeli e in questi esercizi, un avverbio, un termine in più o in meno fa la differenza.
sei d'accordo?
"tommik":
Se invece la traccia fosse questa:
Una scatola contiene $ 5 $ transistor, $ 3 $ dei quali sono difettosi. I transistor devono essere testati, uno alla volta, fino a che quelli difettosi vengono individuati.
allora avrebbe ragione il testo. Purtroppo capita che traducano gli esercizi dall'inglese con traduzioni poco fedeli e in questi esercizi, un avverbio, un termine in più o in meno fa la differenza.
sei d'accordo?
Sono d'accordo sul fatto della traduzione: alcuni è difficile proprio capire cosa chiedano. Invece non mi trovo d'accordo sulla traccia proprosta perché non devo individuare i transistor difettosi, ma il numero di test che mi occorrono per trovare due transistor difettosi; o almeno questo è come l'ho interpretato io. Ad esempio:
$p(1,3)$ pesco un transistor e trovo che è difettoso al primo test: per il primo transistor ho fatto un solo test. Ora ne ho 2 buoni e 2 difettosi. Pesco altri due transistor e sono entrambi buoni, quindi pesco un altro transistor ed è difettoso; per cui per trovare il secondo transistor ho fatto tre test.
Mentre $p(3,1)$ pesco prima i due buoni, quindi per individuare il secondo transistor difettoso mi occorre, in teoria, un solo test; nella realtà lo so per certo perché mi sono rimasti solo quelli difettosi.
$p(2,2)$ pesco un transistor buono e uno difettoso: per il primo diffettosso ho eseguito due tes. Ora ho 1 buono e 2 difettosi. Pesco uno buono e il secondo è difettoso; quindi, sempre in teoria, avrei dovuto fare 2 test per trovare il secondo difettoso.
E così via.
Quello che non mi torna sono i valori delle densità congiunte (bivariate): impostando questo calcolo
$ p(1,3)=(((2),(1)) ((3),(3)) )/(((5),(4)))=2/5 $
mentre deve essere
$ p(1,3)=(((2),(1)) ((3),(3)) )/(((5),(4))*4)= 1/10 $
quello che non capisco, in questo caso ho intuito di dover dividere per $4$ perché sapevo la soluzione, ma perché ciò è giusto?
Per trovare le bivariate che calcolo hai fatto?
dunque se la traccia fosse questa
la soluzione sarebbe giusta ma non devi usare la ipergeometrica perché devi andare a prendere il singolo caso favorevole
Ecco tutti i calcoli da fare
$P(1;1)=3/5*2/4$
$P(1;2)=3/5*2/4*2/3$
$P(1;3)=3/5*2/4*1/3$
$P(2;1)=3/10*2/3$
$P(2;2)=3/10*1/3$
$P(3;1)=1/10$
Una scatola contiene $5$ transistor, $3$ dei quali sono difettosi. I transistor devono essere testati, uno alla volta, fino a che quelli difettosi vengono individuati.
la soluzione sarebbe giusta ma non devi usare la ipergeometrica perché devi andare a prendere il singolo caso favorevole
Ecco tutti i calcoli da fare
$P(1;1)=3/5*2/4$
$P(1;2)=3/5*2/4*2/3$
$P(1;3)=3/5*2/4*1/3$
$P(2;1)=3/10*2/3$
$P(2;2)=3/10*1/3$
$P(3;1)=1/10$
Mi sa che intendiamo la stessa cosa ma in modo diverso.
Comunque noto che mi complico la vita a usare a tutti i costi il coefficiente binomiale.
Arigatou!
Comunque noto che mi complico la vita a usare a tutti i costi il coefficiente binomiale.
Arigatou!
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