Esercizio densità di probabilità

[Sk_Anonymous]

un dispositivo è formato da 2 componenti (indipendenti) posti in parallelo, ognuno dei quali ha durata di funzionamento aleatoria con distribuzione esponenziale di parametro $lambda$. Determinare la densità di probabilità di T='intervallo di tempo in cui il dispositivo funziona con un solo componente'

X e Y sono le durate aleatorie di funzionamento dei singoli componenti

esprimo T=V-W dove V=max(X,Y) e W=min(X,Y)

$F_v(t)=P(V<=t)=P(max(X,Y)<=t)=P[(X<=t)nnn(Y<=t)]=(1-e^(-lambda*t))^2$

$F_w(t)=P(W<=t)=P(min(X,Y)<=t)=1-[(1-P(X<=t))*(1-P(Y<=t))]=1-e^(-2lambda*t)$

Data l'indipendenza dei componenti posso scrivere

$F_T(t)=F_v(t)*F_w(t)$...ma a questo punto derivando quello che ottengo non trovo la densità corretta che è:

se $t>=0$ ------------------------> $lambda e^(- lambda t)$
se $t<0$ ----------------------> 0

cosa sbaglio?

grazie 1000

ciao

[clrscr]

Innanzitutto, per chiarezza, rappresento con $x1$ il tempo di sopravvivenza del dispositivo 1 e con $x2$ il tempo analogo per il disp. 2.

Nel tuo ragionamento prendi in considerazione SEPARATAMENTE il tempo minimo di funzionamento tra i due disp (W) e il tempo massimo (V) tra i due disp.

Analizzo (per il momento) solamente W.
Con probabilità non nulla potrebbe essere che x1 si spenga prima di x2 (riamane solamente x2 operativo).

Analizzo ora V(senza tener conto del risultato apena trovato per W).
Con probabilità non nulla potrebbe essere che x1 si spenga dopo x2 (rimane solamente x2 operativo).In questo caso il tempo di lavoro calcolato da te andrebbe bene.
Non bisogna dimenticare che con prob non nulla potrebbe succedere che x2 si spenga dopo x1 (rimarrebbe x1 operativo), in questo caso il tempo T calcolato non sarebbe quello corretto in quanto la differenza dipenderebbe da due DIVERSI dispositivi.

Il procedimento che ho seguito è il seguente:

Calcoliamo la $P[T Per il teorema della prob totale, la probabilità sopra citata può essere riscritta come:

$P[T
Prendiamo la $P[T
Il tutto può essere riscritto come:
$P[T
Essendo i tempi di vita desritti da V.A. continue si dovrà avere:

$P[T
Eseguendo i vari calcolo dovrebbe risultare:
$P[T

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[Sk_Anonymous]

scusa x il ritardo ma ero fuori.....grazie 1000 ora è tutto chiaro!

ciao