Esercizio densità congiunta

[bjunior]

Ciao a tutti sono alle prime armi con la probabilità continua e vorrei farvi vedere un esercizio per vedere se ho incominciato a ragionare bene:

Si considerino due variabili indipendenti X e Y uniformi in $[0,1]$
1 Calcolare la densità congiunta di X-Y e X
2.Calcolare la densità di X-Y

per il primo punto ho posto: $Z=X-Y$ e quindi

$P(Z<=z,X<=x)=P(X-Y<=z,X<=x)=P(Y>=x-z)P(X<=x)=(1-F_y(x-z-1))F_x(x)=F_x(x)-F_x(x)F_y(x-z-1)$

e quindi $f_{Z,X}(z,x)=\frac{del^2F}{delxdelz}$ dove
$\frac{delF_{Z,X}}{delx}=f_x(x)-f_x(x)F_y(x-z-1)-F_x(x)f_y(x-z-1)$

e quindi

$\frac{del^2F_{Z,X}}{delzdelx}=f_x(x)f_y(x-z-1)-F_x(x)\frac{delf_y}{delz}(x-z-1)$

e poichè

$\frac{delf_y}{delz}(x-z-1)=0$ si ha che $f_{Z,X}(z,x)=f_x(x)f_y(x-z-1)$

per il secondo punto ho posto $P(X-Y<=z)= \int_{-\infty}^{+\infty} int_{-\infty}^{z+y} f_x(x)f_y(y) dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty} F_x(z+y)f_y(y) dy$

e quindi $f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_x(z+y)f_y(y) dy$

$fx(z+y)={(1,-z<=y<=1-z),(0,text{altrove}):}$ e l'integrale tra $f_y(y)$ e $f_x(z+y)$ sarà per $z<=-1$ o $z>=1$ nullo per

$zin(-1,0]$ è uguale a $1+z$ mentre per $zin(0,1)$ è uguale a $1-z$ e di conseguenza

$f_z(z)=(1+z)1_{(-1,0]}(z)+(1-z)1_{(0,1)}(z)$

Ho ragionato bene??

Grazie a chi mi aiuterà

[Quinzio]

"bjunior":Ciao a tutti sono alle prime armi con la probabilità continua e vorrei farvi vedere un esercizio per vedere se ho incominciato a ragionare bene:

Si considerino due variabili indipendenti X e Y uniformi in $[0,1]$
1 Calcolare la densità congiunta di X-Y e X
2.Calcolare la densità di X-Y

per il primo punto ho posto: $Z=X-Y$ e quindi

$P(Z<=z,X<=x)=P(X-Y<=z,X<=x)=P(Y>=x-z)P(X<=x)=(1-F_y(x-z-1))F_x(x)=F_x(x)-F_x(x)F_y(x-z-1)$

Non capisco perchè $P(Y<=x-z)=F_y(x-z-1)$.

E' semplicemente $P(Y<=x-z)=F_y(x-z)$. Perchè quel $-1$ ?

e quindi $f_{Z,X}(z,x)=\frac{del^2F}{delxdelz}$ dove
$\frac{delF_{Z,X}}{delx}=f_x(x)-f_x(x)F_y(x-z-1)-F_x(x)f_y(x-z-1)$

e quindi

$\frac{del^2F_{Z,X}}{delzdelx}=f_x(x)f_y(x-z-1)-F_x(x)\frac{delf_y}{delz}(x-z-1)$

e poichè

$\frac{delf_y}{delz}(x-z-1)=0$ si ha che $f_{Z,X}(z,x)=f_x(x)f_y(x-z-1)$

per il secondo punto ho posto $P(X-Y<=z)= \int_{-\infty}^{+\infty} int_{-\infty}^{z+y} f_x(x)f_y(y) dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty} F_x(z+y)f_y(y) dy$

e quindi $f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_x(z+y)f_y(y) dy$

$fx(z+y)={(1,-z<=y<=1-z),(0,text{altrove}):}$ e l'integrale tra $f_y(y)$ e $f_x(z+y)$ sarà per $z<=-1$ o $z>=1$ nullo per

$zin(-1,0]$ è uguale a $1+z$ mentre per $zin(0,1)$ è uguale a $1-z$ e di conseguenza

$f_z(z)=(1+z)1_{(-1,0]}(z)+(1-z)1_{(0,1)}(z)$

Ho ragionato bene??

Grazie a chi mi aiuterà

[bjunior]

scusami hai ragione faccio sempre questo errore quindi sarebbe:

$P(X-Y<=z)=P(Y>=x-z)=1-P(Y
Per il resto tutto ok??

Grazie mille per l'aiuto.