Esercizio densità condizionata

[Ale0010]

Buongiorno,

ho difficoltà con questo esercizio:

Siano $ X~ U(0,1) $ e $ Y|_(X=x)~ N(x,x^2) $
a) Calcolare media e varianza di X e Y e la covarianza tra X e Y
b)Provare che $ X $ e $ Y/X $ siano indipendenti e dedurre la legge di $ Y/X $

Per il primo punto è tutto facile:
$ mathbb(E)[X]=1/2 $ $ var(X)=1/(12) $
$ mathbb(E)[Y]= mathbb(E)[mathbb(E)[Y|X]]=1/2 $ e con formule simili $ var(Y)=5/12 $

$ cov(X,Y)=mathbb(E)[XY]-mathbb(E)[X]mathbb(E)[Y] $ quindi
$ mathbb(E)[XY]=mathbb(E)[mathbb(E) [XY|X]]=mathbb(E)[Xmathbb(E) [Y|X]]=mathbb(E)[X^2] $
$ cov(X,Y)=1/12 $

Per il punto b) arrivano i problemi:

Ho provato a calcolare $ f_Y(y) $ ma arrivo ad un integrale che penso sia troppo difficile da risolvere.

$ f_Y(y)=int_(0)^(1) 1/(sqrt(2pix^2))e^(1/(2x^2)(y-x)^2) dx $ con $ yin (-oo ,+oo ) $
Questo lo ho ottenuto da $ f_(X,Y)(x,y)=f_(Y|X=x)(y)*f_X(x) $ e poi integrando.

Ma ora mi sono fermato. C'è un modo più semplice?

[Lo_zio_Tom]

non riesci a calcolare la $f(X,Y/X)$ con il metodo della matrice jacobiana?

poi integrando su x dovresti ottenere $f(Y/X)$

[Ale0010]

Risolto!!!
Si dovevo usare quel metodo.
Viene che $ Y/X~ N(1,1) $ indipendente da $ X $

Grazie mille!!