Esercizio dado con facce colorate
Ciao a tutti,
Sto risolvendo un esercizio di probabilità ma non sono sicura di aver svolto nel modo corretto il punto b) e non riesco a capire come risolvere il c).
L'esercizio è il seguente:
Un dado ha due facce colorate di rosso, due di bianco e due di giallo e viene lanciato più volte.
a) Qual è la probabilità che nessuna faccia bianca appaia nei primi n lanci? Qual è la probabilità che nei primi n lanci non appaia nè una faccia rossa nè una bianca?
Per questo punto non ho avuto problemi, l'ho risolto in questo modo:
Sappiamo che la probabilità di ottenere la faccia di un colore (sia rosso,giallo o bianco) è 1/3
$\B_i=$"È uscita una faccia bianca nel lancio i"
Allora l'ho trattata come una binomiale,
$ \B=\sum_{i=1}^n B_i $
Allora $ \p(B>n)=p(k=0)= \(n!)/(k!(n-k)!)*p^k*(1-p)^(n-k)= (2/3)^n $
Mentre per il caso che non appaia nè una faccia rossa nè una bianca:
(Equivale ad avere soltanto facce gialle nei primi n lanci)
$\B_i=$ 1 se la faccia è gialla all'i-esimo lancio, 0 altrimenti
Allora
$ \p(B=n)=1*p^n*1=(1/3)^n $
b) Qual è la probabilità che non tutti i 3 colori siano apparsi almeno una volta nei primi n lanci?
Qui il libro dà come soluzione $ \3*(2/3)^n-3*(1/3)^n $
Ma secondo me sarebbe $\3*(2/3)^n$
Quindi mi servirebbe una delucidazione perchè forse non ho capito bene la domanda!!
c) Indichiamo con T il numero di lanci necessario perchè tutti e tre i colori siano apparsi almeno una volta. Qual è la legge di T? Quanto vale E(T)?
Essendo che si tratta del numero di lanci necessario per ottenere il risultato sperato, userei la densità geometrica modificata: $ \T=p*(1-p)^(n-1) $ ,
Ma non so che p utilizzare. Pensavo 1-(2/3)^n ma non dà il risultato corretto.
La soluzione corretta è $ \3*(2/3)^(k-1)-2*(1/3)^(k-1) $
Grazie mille dell'aiuto!!
Sto risolvendo un esercizio di probabilità ma non sono sicura di aver svolto nel modo corretto il punto b) e non riesco a capire come risolvere il c).
L'esercizio è il seguente:
Un dado ha due facce colorate di rosso, due di bianco e due di giallo e viene lanciato più volte.
a) Qual è la probabilità che nessuna faccia bianca appaia nei primi n lanci? Qual è la probabilità che nei primi n lanci non appaia nè una faccia rossa nè una bianca?
Per questo punto non ho avuto problemi, l'ho risolto in questo modo:
Sappiamo che la probabilità di ottenere la faccia di un colore (sia rosso,giallo o bianco) è 1/3
$\B_i=$"È uscita una faccia bianca nel lancio i"
Allora l'ho trattata come una binomiale,
$ \B=\sum_{i=1}^n B_i $
Allora $ \p(B>n)=p(k=0)= \(n!)/(k!(n-k)!)*p^k*(1-p)^(n-k)= (2/3)^n $
Mentre per il caso che non appaia nè una faccia rossa nè una bianca:
(Equivale ad avere soltanto facce gialle nei primi n lanci)
$\B_i=$ 1 se la faccia è gialla all'i-esimo lancio, 0 altrimenti
Allora
$ \p(B=n)=1*p^n*1=(1/3)^n $
b) Qual è la probabilità che non tutti i 3 colori siano apparsi almeno una volta nei primi n lanci?
Qui il libro dà come soluzione $ \3*(2/3)^n-3*(1/3)^n $
Ma secondo me sarebbe $\3*(2/3)^n$
Quindi mi servirebbe una delucidazione perchè forse non ho capito bene la domanda!!
c) Indichiamo con T il numero di lanci necessario perchè tutti e tre i colori siano apparsi almeno una volta. Qual è la legge di T? Quanto vale E(T)?
Essendo che si tratta del numero di lanci necessario per ottenere il risultato sperato, userei la densità geometrica modificata: $ \T=p*(1-p)^(n-1) $ ,
Ma non so che p utilizzare. Pensavo 1-(2/3)^n ma non dà il risultato corretto.
La soluzione corretta è $ \3*(2/3)^(k-1)-2*(1/3)^(k-1) $
Grazie mille dell'aiuto!!
Risposte
Il risultato del punto b) che dà il libro è corretto. Nella tua soluzione conti due volte la probabilità che escano tutte facce B, G o R.
Quindi per trovare la soluzione corretta devi sottrarre $3 (1/3)^n $
Infatti, nella tua formula $3(2/3)^n$ sei in questa situazione
$P(BR)^n=(2/3)^n$ include anche gli eventi {BBB...B} e {RRR...R}
$P(BG)^n=(2/3)^n$ include anche gli eventi {BBB...B} e {GGG...G}
$P(GR)^n=(2/3)^n$ include anche gli eventi {GGG...G} e {RRR...R}
e come vedi sommando le probabilità (o moltiplicando per 3, come fai tu) li conti due volte....
**************************
Il punto c) invece è sbagliato e lo vedi subito perché
per n=3 fornisce una probabilità di $10/9>1$ quando invece la probabilità cercata, per $n=3$ è facilmente calcolabile così: $1/27 3! =2/9$
Partendo dal punto b calcolo la legge così:
$[(2/3)^(n-1)-2 (1/3)^(n-1 )] 1/3\cdot 3=(2/3)^(n-1)-2 (1/3)^(n-1) $
Con $n=3,4....$
Così mi pare giri bene, qundi può anche essere che nella soluzione del libro ci sia finito un 3 in più davanti...ora calcolare la media è facile, sfruttando le proprietà delle serie geometriche.
Vediamo quindi come calcolare la media della distribuzione trovata
$E(X)=sum_(x=3)^(+oo)x(2/3)^(x-1)-2sum_(x=3)^(+oo)x(1/3)^(x-1)$
poniamo $p=1/3$ e $q=2/3$
ottenendo
$E(X)=sum_(x=3)^(+oo)xq^(x-1)-2sum_(x=3)^(+oo)xp^(x-1)=$
$=sum_(x=3)^(+oo)d/(dq)q^x-2sum_(x=3)^(+oo)d/(dp)p^x=$
$=d/(dq)sum_(x=3)^(+oo)q^x-2d/(dp)sum_(x=3)^(+oo)p^x=$
$d/(dq)q^3/(1-q)-2d/(dp)p^3/(1-p)=...=(3q^2-2q^3)/(1-q)^2-2(3p^2-2p^3)/(1-p)^2=11/2$
che mi sembra un valore ragionevole...
fammi sapere se il mio sforzo ti è tornato utile..
ciao
Quindi per trovare la soluzione corretta devi sottrarre $3 (1/3)^n $
Infatti, nella tua formula $3(2/3)^n$ sei in questa situazione
$P(BR)^n=(2/3)^n$ include anche gli eventi {BBB...B} e {RRR...R}
$P(BG)^n=(2/3)^n$ include anche gli eventi {BBB...B} e {GGG...G}
$P(GR)^n=(2/3)^n$ include anche gli eventi {GGG...G} e {RRR...R}
e come vedi sommando le probabilità (o moltiplicando per 3, come fai tu) li conti due volte....
**************************
Il punto c) invece è sbagliato e lo vedi subito perché
"19Elektra92":
La soluzione corretta è $ \3*(2/3)^(k-1)-2*(1/3)^(k-1) $
per n=3 fornisce una probabilità di $10/9>1$ quando invece la probabilità cercata, per $n=3$ è facilmente calcolabile così: $1/27 3! =2/9$
Partendo dal punto b calcolo la legge così:
$[(2/3)^(n-1)-2 (1/3)^(n-1 )] 1/3\cdot 3=(2/3)^(n-1)-2 (1/3)^(n-1) $
Con $n=3,4....$
Così mi pare giri bene, qundi può anche essere che nella soluzione del libro ci sia finito un 3 in più davanti...ora calcolare la media è facile, sfruttando le proprietà delle serie geometriche.
Vediamo quindi come calcolare la media della distribuzione trovata
$E(X)=sum_(x=3)^(+oo)x(2/3)^(x-1)-2sum_(x=3)^(+oo)x(1/3)^(x-1)$
poniamo $p=1/3$ e $q=2/3$
ottenendo
$E(X)=sum_(x=3)^(+oo)xq^(x-1)-2sum_(x=3)^(+oo)xp^(x-1)=$
$=sum_(x=3)^(+oo)d/(dq)q^x-2sum_(x=3)^(+oo)d/(dp)p^x=$
$=d/(dq)sum_(x=3)^(+oo)q^x-2d/(dp)sum_(x=3)^(+oo)p^x=$
$d/(dq)q^3/(1-q)-2d/(dp)p^3/(1-p)=...=(3q^2-2q^3)/(1-q)^2-2(3p^2-2p^3)/(1-p)^2=11/2$
che mi sembra un valore ragionevole...
fammi sapere se il mio sforzo ti è tornato utile..
ciao
Grazie mille tommik, stavo proprio riguardando e infatti nel punto b) non avevo considerato il fatto delle ripetizioni, quindi ora il tutto torna.
Anche il calcolo del valore atteso è perfetto, infatti è proprio il risultato che dà il libro ($\11/2$) .
Forse non l'ho ancora notato ma non capisco da dove derivi la legge che trovi nel punto c).
Grazie dell'aiuto!
Anche il calcolo del valore atteso è perfetto, infatti è proprio il risultato che dà il libro ($\11/2$) .
Forse non l'ho ancora notato ma non capisco da dove derivi la legge che trovi nel punto c).
Grazie dell'aiuto!
dunque vediamo di spiegarci meglio
supponiamo di dover calcolare la probabilità che all'ennesimo tiro debba uscire il primo Rosso per completare il tricolore. La legge è evidentemente basata su una geometrica.
Dovremmo quindi essere in una situazione come questa:
ovvero $[(2/3)^(n-1)-2(1/3)^(n-1)](1/3)$ perchè ovviamente devo escludere entrambi i casi
BBBBBBBBBBBBBBBBBB
GGGGGGGGGGGGGG
che sono comunque inclusi in $(2/3)^(n-1)$
quindi per trovare la legge richiesta basta moltipicare per 3.
chiaro ora?
supponiamo di dover calcolare la probabilità che all'ennesimo tiro debba uscire il primo Rosso per completare il tricolore. La legge è evidentemente basata su una geometrica.
Dovremmo quindi essere in una situazione come questa:
ovvero $[(2/3)^(n-1)-2(1/3)^(n-1)](1/3)$ perchè ovviamente devo escludere entrambi i casi
BBBBBBBBBBBBBBBBBB
GGGGGGGGGGGGGG
che sono comunque inclusi in $(2/3)^(n-1)$
quindi per trovare la legge richiesta basta moltipicare per 3.
chiaro ora?
Ora è chiarissimo si!!!! L'avevo considerata più difficile e non la guardavo nel modo giusto!!
Grazie mille ancora, gentilissimo!
Buona giornata
Grazie mille ancora, gentilissimo!
Buona giornata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo