Esercizio con variabile aleatoria doppia
Si consideri la v.a. doppia (X,Y) data da X = numero di teste nei primi due lanci, Y = numero di teste nei secondi due lanci, associate ad S, insieme dei possibili risultati associato all'esperimento che consiste nel lanciare 3 monete non truccate. Determinare la densità di probabilità congiunta di X e Y.
Allora prendendo in considerazione la sola variabile X, ho che in un lancio posso ottenere $8 = 2^3$ disposizioni di 3 monete, con il secondo lancio ho 16 possibilità. La probabilità di ottenere 0 teste è $1/16$, la probabilità di ottenere 1 testa è $2/16 = 1/8$, la probabilità di ottenere 2 teste è $3/16$, per ottenere 3 teste è $4/16 = 1/4$, per ottenere 4 teste è $3/16$, per ottenenere 5 teste è $2/16 = 1/8$ e per ottenere 6 teste è $1/16$.
Per la variabile Y la situazione è analoga.
Volevo sapere fino a qui il mio ragionamento è giusto? Adesso come trovo la densità di probabilità congiunta?
Grazie.
Allora prendendo in considerazione la sola variabile X, ho che in un lancio posso ottenere $8 = 2^3$ disposizioni di 3 monete, con il secondo lancio ho 16 possibilità. La probabilità di ottenere 0 teste è $1/16$, la probabilità di ottenere 1 testa è $2/16 = 1/8$, la probabilità di ottenere 2 teste è $3/16$, per ottenere 3 teste è $4/16 = 1/4$, per ottenere 4 teste è $3/16$, per ottenenere 5 teste è $2/16 = 1/8$ e per ottenere 6 teste è $1/16$.
Per la variabile Y la situazione è analoga.
Volevo sapere fino a qui il mio ragionamento è giusto? Adesso come trovo la densità di probabilità congiunta?
Grazie.
Risposte
Non capisco come vuoi procedere. L'esperimento consiste nel lanciare 3 volte la moneta (ovvero 3 monete una dopo l'altra) ed osservare quante teste si presentano:
$X $ : nei primi due lanci
$Y $: nel secondo e terzo lancio
Dunque le due variabili marginali $X $ e $Y $ sono due binomiali $B (2;1/2) $ e quindi valgono ${0;1;2} $ con probabilità ${1/4;1/2;1/4} $ rispettivamente.
Ora le devi mettere insieme calcolando la probabilità di tutte le coppie possibili e tenendo presente che non sono indipendenti. Ad esempio le coppie $(0;2) $ e $(2;0) $ sono impossibili. Ti consiglio una rappresentazione tabellare.
Alla fine del ragionamento otterrai la seguente $P _(XY)(x,y) $
$P (0;0)=1/8$
$P (0;1)=1/8$
$P (1;0)=1/8$
$P (1;1)=2/8$
$P (1;2)=1/8$
$P (2;1)=1/8$
$P (2;2)=1/8$
Tot=1.
Se sommi tutte le probabilità marginali ritrovi le due binomiali che ti ho indicato prima.
In forma tabellare la spiegazione è più chiara, ma al momento sono sprovvisto di computer e non so come generare la tabella col cellulare
Tu invece hai interpretato l'esercizio come fosse il lancio di 3 monete per tre volte di seguito (penso ). In tal caso la procedura di risoluzione è analoga ma più lunga e noiosa. Ovviamente le marginali che hai calcolato sono sbagliate perché verrebbero due binomiali $B (6;1/2) $ ; con il secondo lancio di 3 monete avresti 64 disposizioni (e non 16
come hai scritto ) e quindi troveresti le marginali
${0;1;2;3;4;5;6} $ con probabilità ${1/64;6/64;15/64;20/64;15/64;6/64;1/64} $
Poi dovresti calcolare la probabilità di tutte le possibili realizzazioni $(x;y) $... in definitiva avresti lo stesso tipo di esercizio ma inutilmente complicato. Penso quindi che l'interpretazione corretta sia quella che ti ho indicato e risolto in dettaglio.
$X $ : nei primi due lanci
$Y $: nel secondo e terzo lancio
Dunque le due variabili marginali $X $ e $Y $ sono due binomiali $B (2;1/2) $ e quindi valgono ${0;1;2} $ con probabilità ${1/4;1/2;1/4} $ rispettivamente.
Ora le devi mettere insieme calcolando la probabilità di tutte le coppie possibili e tenendo presente che non sono indipendenti. Ad esempio le coppie $(0;2) $ e $(2;0) $ sono impossibili. Ti consiglio una rappresentazione tabellare.
Alla fine del ragionamento otterrai la seguente $P _(XY)(x,y) $
$P (0;0)=1/8$
$P (0;1)=1/8$
$P (1;0)=1/8$
$P (1;1)=2/8$
$P (1;2)=1/8$
$P (2;1)=1/8$
$P (2;2)=1/8$
Tot=1.
Se sommi tutte le probabilità marginali ritrovi le due binomiali che ti ho indicato prima.
In forma tabellare la spiegazione è più chiara, ma al momento sono sprovvisto di computer e non so come generare la tabella col cellulare
Tu invece hai interpretato l'esercizio come fosse il lancio di 3 monete per tre volte di seguito (penso ). In tal caso la procedura di risoluzione è analoga ma più lunga e noiosa. Ovviamente le marginali che hai calcolato sono sbagliate perché verrebbero due binomiali $B (6;1/2) $ ; con il secondo lancio di 3 monete avresti 64 disposizioni (e non 16
come hai scritto ) e quindi troveresti le marginali ${0;1;2;3;4;5;6} $ con probabilità ${1/64;6/64;15/64;20/64;15/64;6/64;1/64} $
Poi dovresti calcolare la probabilità di tutte le possibili realizzazioni $(x;y) $... in definitiva avresti lo stesso tipo di esercizio ma inutilmente complicato. Penso quindi che l'interpretazione corretta sia quella che ti ho indicato e risolto in dettaglio.
Ah ecco, non avevo interpretato bene il testo 
Adesso ci siamo, l'unica cosa che non ho capito (forse è il caldo che non mi fa ragionare) è: cosa c'entra il binomiale di 2 e 1/2?
Grazie per l'aiuto
Adesso ci siamo, l'unica cosa che non ho capito (forse è il caldo che non mi fa ragionare) è: cosa c'entra il binomiale di 2 e 1/2?
Grazie per l'aiuto
La variabile X è il numero di teste (di successi) su due lanci: è la definizione di distribuzione binomiale $B (2;1/2) $ la cui densità è
$P_X (x)=((2),(x))*(1/2)^2$ ; $x=0,1,2$
Idem per la Y
$P_X (x)=((2),(x))*(1/2)^2$ ; $x=0,1,2$
Idem per la Y
"tommik":
La variabile X è il numero di teste (di successi) su due lanci: è la definizione di distribuzione binomiale $B (2;1/2) $ la cui densità è
$P_X (x)=((2),(x))*(1/2)^2$ ; $x=0,1,2$
Idem per la Y
Ah, ho capito, grazie
Adesso sono alle prese con un esercizio simile, penso di aver capito ma ho un dubbio.
Allora l'esercizio dice: Viene lanciata una coppia di dadi. X è la variabile aleatoria che assegna il massimo tra i numeri, mentre Y è la loro somma, calcolare la funzione di probabilità congiunta.
Il massimo tra i numeri che si può ottenere lanciando due dadi è un numero compreso tra 1 e 6, mentre la somma è un numero compreso tra 2 e 12. Per esempio, prendo $P(4;7)$, ciò significa che se come massimo ho ottenuto 4, per avere 7 come somma devo aver avuto la coppia (3,4) o (4,3), considerando che $P(X = 4) = 4/36 = 1/9$ e $P(Y=7) = 6/36 = 1/6$, come stabilisco la probabilità $P(X = 4; Y =7)$? Devo fare $1/6 * 1/9$?
L'esercizio è identico al precedente e la soluzione che proponi è errata. Leggendo la tua bozza... eri già arrivato alla soluzione ma poi te ne sei allontanato inspiegabilmente .
Le variabili NON sono indipendenti e quindi non puoi moltiplicare le marginali; inoltre $P (X=4)=7/36 $.
La probabilità che il Max sia 4 avviene nei seguenti casi
14;24;34;44;41;42;43
E quindi la probabilità dell'intersezione (della congiunta) è la probabilità delle realizzazioni $(3,4 ) uu (4,3) $ come avevi subito intuito, ovvero $2/36$ (2 casi su 36 possibili)
Se guardi tutta la riga corrispondente a $P (X=4) $ vedrai che la Y può essere (e queste sono già tutte le congiunte)
${5,6,7,8} $ con probabilità ${2/36,2/36,2/36,1/36} $ che, sommate, danno esattamente la marginale $P (X=4)=7/36$ come deve essere
Ciao
Ps: preferisco che si metta un topic per ogni esercizio
Ora riparto perché oggi sarà una lunga giornata: Stelvio - Palade - Mendola - Tonale - Viverone - Zambla alta - S Pellegrino -Casa
Le variabili NON sono indipendenti e quindi non puoi moltiplicare le marginali; inoltre $P (X=4)=7/36 $.
La probabilità che il Max sia 4 avviene nei seguenti casi
14;24;34;44;41;42;43
E quindi la probabilità dell'intersezione (della congiunta) è la probabilità delle realizzazioni $(3,4 ) uu (4,3) $ come avevi subito intuito, ovvero $2/36$ (2 casi su 36 possibili)
Se guardi tutta la riga corrispondente a $P (X=4) $ vedrai che la Y può essere (e queste sono già tutte le congiunte)
${5,6,7,8} $ con probabilità ${2/36,2/36,2/36,1/36} $ che, sommate, danno esattamente la marginale $P (X=4)=7/36$ come deve essere
Ciao
Ps: preferisco che si metta un topic per ogni esercizio
Ora riparto perché oggi sarà una lunga giornata: Stelvio - Palade - Mendola - Tonale - Viverone - Zambla alta - S Pellegrino -Casa
Grazie mille
Ecco comunque come si presenta la tua distribuzione bivariata X,Y. Te l'ho scritta con le frequenze assolute perché mi sembra più leggibile. Nulla vieta di dividere il tutto per 36 ed ottenere la distribuzione di probabilità....
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