Esercizio con pobabilità condizionata
Il dado A ha 4 facce rosse e 2 facce bianche, mentre il dado B ha 2 facce rosse e 4 facce bianche, Si lancia una volta una moneta non truccata. Se esce testa, il gioco continua con il dado A; se esce croce, si usa il dado B.
a)mostrare che la robabilità che la faccia sia rossa ad ogni lancio è $1 // 2$
b)e nei primi sue lanci si ottiene il rosso, qual'è la probabilità che venga rosso al terzo lancio?
c)Se nei primi due lanci si ottiene il rosso, qual'è la probabiltà che sia stato usato il dado A?
parziale soluzione:
dunque, io ho interpretato il problema come un esperimento in cui all'inizio si lancia la moneta e poi si continua a lanciare il dado per tutte le volte richieste (solo una volta per il punto a), e 3 volte per il punto b)).
a) io uso le partizioni, ovvero definisco:
Ra="rosso nel dado A" con P(Ra)=$ 2 // 3$
Rb="rosso nel dado B" con P(Rb)=$1 // 3$
T="esce testa" con P(T)= $1 // 2$
C="esce croce" con P(C)=$1 // 2$
da qui segue la formula: $P("esce rosso")=P(T)*P(Ra)+P(C)*P(Rb)= 1 // 2$
b) (dovrebbe risultare 0.6) sono tentato ad usare Bayes con il doppio condizionamento
$P("rosso al terzo lancio"|"rosso al primo" nn "rosso al secondo")=(P("rosso al primo" nn "rosso al secondo"|"rosso al terzo lancio")*P("rosso al terzo lancio"))/(P("rosso al primo" nn "rosso al secondo"))$
ma qui mi sono bloccato, perchè non conosco la probabilità che sia rosso ai primi 2 sapendo che è rosso al terzo.
Inoltre quello che non riesco a capire è come può aumentare la probabilità che esca rosso, sapendo che è già uscito prima.
c)(dovrebbe venire 0.8) ho cominciato a risolverlo in un modo simile al punto b), ma anche qui mi sono bloccato.
Ringrazio in anticipo per qualunque suggerimento.
a)mostrare che la robabilità che la faccia sia rossa ad ogni lancio è $1 // 2$
b)e nei primi sue lanci si ottiene il rosso, qual'è la probabilità che venga rosso al terzo lancio?
c)Se nei primi due lanci si ottiene il rosso, qual'è la probabiltà che sia stato usato il dado A?
parziale soluzione:
dunque, io ho interpretato il problema come un esperimento in cui all'inizio si lancia la moneta e poi si continua a lanciare il dado per tutte le volte richieste (solo una volta per il punto a), e 3 volte per il punto b)).
a) io uso le partizioni, ovvero definisco:
Ra="rosso nel dado A" con P(Ra)=$ 2 // 3$
Rb="rosso nel dado B" con P(Rb)=$1 // 3$
T="esce testa" con P(T)= $1 // 2$
C="esce croce" con P(C)=$1 // 2$
da qui segue la formula: $P("esce rosso")=P(T)*P(Ra)+P(C)*P(Rb)= 1 // 2$
b) (dovrebbe risultare 0.6) sono tentato ad usare Bayes con il doppio condizionamento
$P("rosso al terzo lancio"|"rosso al primo" nn "rosso al secondo")=(P("rosso al primo" nn "rosso al secondo"|"rosso al terzo lancio")*P("rosso al terzo lancio"))/(P("rosso al primo" nn "rosso al secondo"))$
ma qui mi sono bloccato, perchè non conosco la probabilità che sia rosso ai primi 2 sapendo che è rosso al terzo.
Inoltre quello che non riesco a capire è come può aumentare la probabilità che esca rosso, sapendo che è già uscito prima.
c)(dovrebbe venire 0.8) ho cominciato a risolverlo in un modo simile al punto b), ma anche qui mi sono bloccato.
Ringrazio in anticipo per qualunque suggerimento.
Risposte
Punto c)
$P(A|"RR")=(P("RR"|A)*P(A))/(P("RR"|A)*P(A)+P("RR"|B)*P(B))=((2/3)^2*1/2)/((2/3)^2*1/2+(1/3)^2*1/2)=(4/18)/(5/18)=4/5=0.8$
Punto b)
Sapere che ai primi due lanci è uscito rosso rende più probabile l'ipotesi che stiamo giocando col dado A, perciò viene una probabilità maggiore di $0.5$
$P("R al terzo lancio"|"RR")=(P("RR"nn"R al terzo"))/(P("RR"))=(P("RRR"))/(P("RR"))$
Ora $P("RR")=P("RR"|A)*P(A)+P("RR"|B)*P(B)=5/18$ lo abbiamo già calcolato prima
$P("RRR")=P("RRR"|A)*P(A)+P("RRR"|B)*P(B)=(2/3)^3*1/2+(1/3)^3*1/2=1/6$
Sostituendo ottieni $(1/6)/(5/18)=3/5=0.6$
$P(A|"RR")=(P("RR"|A)*P(A))/(P("RR"|A)*P(A)+P("RR"|B)*P(B))=((2/3)^2*1/2)/((2/3)^2*1/2+(1/3)^2*1/2)=(4/18)/(5/18)=4/5=0.8$
Punto b)
Sapere che ai primi due lanci è uscito rosso rende più probabile l'ipotesi che stiamo giocando col dado A, perciò viene una probabilità maggiore di $0.5$
$P("R al terzo lancio"|"RR")=(P("RR"nn"R al terzo"))/(P("RR"))=(P("RRR"))/(P("RR"))$
Ora $P("RR")=P("RR"|A)*P(A)+P("RR"|B)*P(B)=5/18$ lo abbiamo già calcolato prima
$P("RRR")=P("RRR"|A)*P(A)+P("RRR"|B)*P(B)=(2/3)^3*1/2+(1/3)^3*1/2=1/6$
Sostituendo ottieni $(1/6)/(5/18)=3/5=0.6$
chiarissimo grazie!
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