Esercizio con Gaussiane
Ciao a tutti ho il seguente esercizio
la temperatura di un certo corpo è data da una v.a $T~N(3,4)$ viene misurata con uno strumento difettoso che aggiunge un certo errore indipendente di tipo $W~N(-0.5,0.25)$. Si effettuano 20 misurazioni indipendenti
$i) $ Calcolare la prob che la media empirica sia minore di $2$
$ii)$ Quante misurazion è necessario fare per avere una probabilità inferiore a $0.01$ che la media empirica delle misurazioni risulti inferirore di 2 gradi?
Ho pensato cosi
indico $X=W+T$ essendo la somma di due gaussiane indipendenti il risultato è ancora una gaussiana del tipo $X~N(2.5,4.25)$
se indico $bar\X=(X_1+...X_20)/20$ la media empirica trovo $E(bar\X)=2.5$ mentre $VAR(bar\X)=4.25/20=0.2125$
siccome devo riportarmi ad una normale standard standardizzo
$P(bar\X>2)=P((bar\X-2.5)/0.46> -0.5/0.46)=P(N(0,1)> -3.43)=Phi(3.43)$
poi per il punto $ii$ penso che si possa utilizzare il TLC ma ho delle difficoltà a trovare questo $n$
grazie a tutti
la temperatura di un certo corpo è data da una v.a $T~N(3,4)$ viene misurata con uno strumento difettoso che aggiunge un certo errore indipendente di tipo $W~N(-0.5,0.25)$. Si effettuano 20 misurazioni indipendenti
$i) $ Calcolare la prob che la media empirica sia minore di $2$
$ii)$ Quante misurazion è necessario fare per avere una probabilità inferiore a $0.01$ che la media empirica delle misurazioni risulti inferirore di 2 gradi?
Ho pensato cosi
indico $X=W+T$ essendo la somma di due gaussiane indipendenti il risultato è ancora una gaussiana del tipo $X~N(2.5,4.25)$
se indico $bar\X=(X_1+...X_20)/20$ la media empirica trovo $E(bar\X)=2.5$ mentre $VAR(bar\X)=4.25/20=0.2125$
siccome devo riportarmi ad una normale standard standardizzo
$P(bar\X>2)=P((bar\X-2.5)/0.46> -0.5/0.46)=P(N(0,1)> -3.43)=Phi(3.43)$
poi per il punto $ii$ penso che si possa utilizzare il TLC ma ho delle difficoltà a trovare questo $n$
grazie a tutti
Risposte
"shadow88":
Ciao a tutti ho il seguente esercizio
la temperatura di un certo corpo è data da una v.a $T~N(3,4) viene misurata con uno strumento difettoso che aggiunge un certo errore indipendente di tipo $W~N(-0.5,0.25). Si effettuano 20 misurazioni indipendenti
$i) $ Calcolare la prob che la media empirica sia minore di $2$
$ii)$ Quante misurazion è necessario fare per avere una probabilità inferiore a $0.01$ che la media empirica delle misurazioni risulti inferirore di 2 gradi?
puoi deincasinare le formule?
"ghira":
[quote="shadow88"]Ciao a tutti ho il seguente esercizio
la temperatura di un certo corpo è data da una v.a $T~N(3,4) viene misurata con uno strumento difettoso che aggiunge un certo errore indipendente di tipo $W~N(-0.5,0.25). Si effettuano 20 misurazioni indipendenti
$i) $ Calcolare la prob che la media empirica sia minore di $2$
$ii)$ Quante misurazion è necessario fare per avere una probabilità inferiore a $0.01$ che la media empirica delle misurazioni risulti inferirore di 2 gradi?
puoi deincasinare le formule?[/quote]
FATTO.PARDON
"shadow88":
$P(bar\X>2)=P((bar\X-2.5)/0.46> -0.5/0.46)=P(N(0,1)> -3.43)=Phi(3.43)$
Perché ">"?
Cavolata .... diventa $...=1-Phi(3.43)$
Forse ci sono anche per l altro punto
osservo che $0.01=Phi(-2.3)$ dalle tavole.
Ora la media è la stessa in quanto abbiamo visto non dipende dal numero $n$ mentre la varianza è condizionata da quest'ultimo
quindi scrivo
$-0.5/(sqrt(4.25/n))<-2.3=1/(4.25/n)>21.6->n=4.25*21.6=91.8$ questo è quello che sono riuscito a estrapolare
osservo che $0.01=Phi(-2.3)$ dalle tavole.
Ora la media è la stessa in quanto abbiamo visto non dipende dal numero $n$ mentre la varianza è condizionata da quest'ultimo
quindi scrivo
$-0.5/(sqrt(4.25/n))<-2.3=1/(4.25/n)>21.6->n=4.25*21.6=91.8$ questo è quello che sono riuscito a estrapolare
"shadow88":
$n=4.25*21.6=91.8$ questo è quello che sono riuscito a estrapolare
Ma $n$ deve essere un intero, direi.
Quindi devo approssimare...
$n>91$... Giusto? Oppure ho sbagliato qualcosa?
$n>91$... Giusto? Oppure ho sbagliato qualcosa?
"shadow88":
Quindi devo approssimare...
$n>91$... Giusto? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Non ho fatto i calcoli ma il metodo sembra ok.
La tua risposta alla prima parte non mi convince. Deve essere minore di $0,5$, no?
"ghira":
[quote="shadow88"]
$P(bar\X>2)=P((bar\X-2.5)/0.46> -0.5/0.46)=P(N(0,1)> -3.43)=Phi(3.43)$
Perché ">"?[/quote]
Se intendi questo ho sbagliato il segno...deve essere minore di due... Quindi facendo la differenza di due e della guassiana esce quel $-0.5$ al numeratore....
"shadow88":
[quote="ghira"][quote="shadow88"]
$P(bar\X>2)=P((bar\X-2.5)/0.46> -0.5/0.46)=P(N(0,1)> -3.43)=Phi(3.43)$
Perché ">"?[/quote]
Se intendi questo ho sbagliato il segno...deve essere minore di due... Quindi facendo la differenza di due e della guassiana esce quel $-0.5$ al numeratore....[/quote]
E la risposta adesso è?
"shadow88":
Cavolata .... diventa $...=1-Phi(3.43)$
L avevo già scritto qui
"shadow88":
[quote="shadow88"]Cavolata .... diventa $...=1-Phi(3.43)$
L avevo già scritto qui
[/quote]Cioè essenzialmente zero?
Dove sto sbagliando...
"shadow88":
Dove sto sbagliando...
Media: 2,5
SQM: $\sqrt{\frac{4,25}{20}}$
Il nostro valore: 2
$Z=$?
$bar\Z=(Z_1...Z_20)/20$ quindi $Z<40$ forse?
"shadow88":
$bar\Z=(Z_1...Z_20)/20$ quindi $Z<40$ forse?
Cosa? No.
Ti sto chiedendo di calcolare $\frac{2-2,5}{\text{sqm}}$
Ahhhhhhh... Non capisco perché ho scritto quel risultato... $1.086$ circa....
"shadow88":
Ahhhhhhh... Non capisco perché ho scritto quel risultato... $1.086$ circa....
Magari con "-" davanti?
Grazie ghira... Alla prossima... Buona serata
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