Esercizio con estrazione senza reimmissione

[pier.armeli]

Sto tentando di risolvere questo quesito di probabilità:

Un'urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Si estraggono 2 palline senza reimmissione. Ogni giocatore può scommettere che esca una coppia di numeri e per tale scommessa paga 2 €. In caso di vincita riceve 100 €.
Nelle coppie non interessa l'ordine dei numeri.

Calcolare la probabilità di vincita e il valore atteso (speranza matematica) del guadagno per i giocatori.

Vorrei semplicemente chiedervi con che tipo di variabile aleatoria discreta bisogna modellizzare il problema (binomiale, Poisson, geometrica, uniforme ..).
Dato che ancora sono agli inizi, vorrei chiedervi un suggerimento di questo tipo. Una volta che mi saprete dire con che v.a. modellizzarlo procederò alla risoluzione, postando eventualmente il procedimento che seguirò.
Grazie

[dissonance]

In realtà la v.a. con cui hai a che fare qui è molto semplice, non mi pare il caso di scomodare distribuzioni preconfezionate. Un giocatore o vince $98 €$ oppure perde $2 €$, quindi se chiamiamo $X$ la v.a. del suo guadagno, essa può assumere solo due valori: $-2, 98$. Ora, come sai, questo non basta ad identificare la nostra v.a.: serve anche conoscere la probabilità che $X$ assuma uno dei valori detti. E questo è quello che devi fare adesso: calcola $P(X=98), P(X=-2)$.

[pier.armeli]

Allora, intanto ho provato a modellizzare il problema con una ipergeometrica. Dati $b=18$ numeri (che non voglio che vengano estratti) e $r=2$ numeri (che voglio che vengano estratti), la probabilità che in $n=2$ prove vengano estratti per $k=2$ volte gli $r$ numeri è
$P(X=k)=( (( r ),( k) )( (b),( n-k) ))/( ((b+r ),( n) )) -> P(X=2)=( (( 2 ),( 2) )( (18),( 0) ))/(( ( 20 ),( 2) ))=1/190=0.00526 sim 0.0053$ che corrisponde al risultato che dà il testo.
Quindi, ora so qual è la probabilità di vincita. Sapendo questa come faccio per calcolare la speranza matematica?

@ dissonance: ok, il tuo procedimento mi è chiaro, però non ho capito con quali formule si devono andare a calcolare $P(X=98)$ e $P(X=-2)$. Può essere che $P(X=98)=0.053$ e $P(X=-2)=1-0.053$?

[dissonance]

Si. Io ho ragionato con la classica $"casi favorevoli"/"casi totali"$. Vengono estratte due palline da una popolazione di 20 palline, senza tenere conto dell'ordine di estrazione: il numero di casi totali è $((20), (2))$ (se non lo sapevi possiamo dimostrarlo, è molto semplice). Per vincere il giocatore deve azzeccare tutte e due le palline, e visto che non stiamo considerando l'ordine di estrazione, c'è solo una possibilità. Quindi $P(X=98)=1// ((20), (2))=1//190$.
Inoltre non ci sono, per il giocatore, altre possibilità se non vincere o perdere: quindi la probabilità di perdere ($P(X=-2)$) è $1-1//190$.
_____________

Ora passiamo al valore atteso. Qui è davvero solo questione di applicare la definizione: io non so che tipo di studi di probabilità stai compiendo, ma di sicuro saremo d'accordo che, se una v.a. $Y$ assume un numero finito di valori $y_1, ..., y_n$, il suo valore atteso è

$E(Y)=y_1*P(Y=y_1)+...+y_n*P(Y=y_n)$.

Applca questo con $Y=X$, $y_1=x_1=-2$, $y_2=x_2=98$.

[pier.armeli]

"dissonance":Si. Io ho ragionato con la classica $"casi favorevoli"/"casi totali"$. Vengono estratte due palline da una popolazione di 20 palline, senza tenere conto dell'ordine di estrazione: il numero di casi totali è $((20), (2))$ (se non lo sapevi possiamo dimostrarlo, è molto semplice). Per vincere il giocatore deve azzeccare tutte e due le palline, e visto che non stiamo considerando l'ordine di estrazione, c'è solo una possibilità. Quindi $P(X=98)=1// ((20), (2))=1//190$.
Inoltre non ci sono, per il giocatore, altre possibilità se non vincere o perdere: quindi la probabilità di perdere ($P(X=-2)$) è $1-1//190$.
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Ora passiamo al valore atteso. Qui è davvero solo questione di applicare la definizione: io non so che tipo di studi di probabilità stai compiendo, ma di sicuro saremo d'accordo che, se una v.a. $Y$ assume un numero finito di valori $y_1, ..., y_n$, il suo valore atteso è

$E(Y)=y_1*P(Y=y_1)+...+y_n*P(Y=y_n)$.

Applca questo con $Y=X$, $y_1=x_1=-2$, $y_2=x_2=98$.

Ah, ok! Tutto chiarissimo, grazie mille. La $E[X]$ mi è venuta giusta $-1.4737$ €.