Esercizio con disuguaglianza
Salve a tutti,
sto svolgendo un esercizio ma non so bene come proseguire.
Risolvendo i punti precedenti dell'esercizio sono arrivata ad un processo (premetto che potrei aver sbagliato) che soddisfa la seguente relazione:
$Y_t=\int_0^t 2Y_scos(X_s)dB_s+1$
dove $\{X_t\}_t$ è un altro processo stocastico.
Sia $\tau_n=\text{inf}\{s\geq0:|Y_s|\geqn\}$ devo far vedere che esistono delle costanti $a$ e $b$ tali che
$\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)\leqa+b\int_0^t\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)ds$
Se non ho sbagliato i conti, usando le proprietà dell'integrale stocastico, sono arrivata alla seguente uguaglianza:
$\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)=1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_s^2cos^2(X_s)\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(s)ds)$.
Ora mi chiedo: da questa uguaglianza si può ottenere la disuguaglianza di sopra oppure ho sbagliato qualcosa nei punti precedenti dell'esercizio (cosa possibile)?
Grazie a tutti.
sto svolgendo un esercizio ma non so bene come proseguire.
Risolvendo i punti precedenti dell'esercizio sono arrivata ad un processo (premetto che potrei aver sbagliato) che soddisfa la seguente relazione:
$Y_t=\int_0^t 2Y_scos(X_s)dB_s+1$
dove $\{X_t\}_t$ è un altro processo stocastico.
Sia $\tau_n=\text{inf}\{s\geq0:|Y_s|\geqn\}$ devo far vedere che esistono delle costanti $a$ e $b$ tali che
$\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)\leqa+b\int_0^t\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)ds$
Se non ho sbagliato i conti, usando le proprietà dell'integrale stocastico, sono arrivata alla seguente uguaglianza:
$\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)=1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_s^2cos^2(X_s)\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(s)ds)$.
Ora mi chiedo: da questa uguaglianza si può ottenere la disuguaglianza di sopra oppure ho sbagliato qualcosa nei punti precedenti dell'esercizio (cosa possibile)?
Grazie a tutti.
Risposte
così a occhio direi che va il passaggio che hai fatto... sempre che hai già dimostrato che la speranza dell'int. stocastico sia zero... o no?
a questo punto ti consiglio di maggiorare alcune cose con $1$ nell'integrale e pensare a quale relazione intercorre tra $\mathbb{E}(Y_s^2 1_{\[0,\tau_n)})$ e $\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)$.
Poi bisogna motivare lo scambio degli integrali, ma questo è facile
a questo punto ti consiglio di maggiorare alcune cose con $1$ nell'integrale e pensare a quale relazione intercorre tra $\mathbb{E}(Y_s^2 1_{\[0,\tau_n)})$ e $\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)$.
Poi bisogna motivare lo scambio degli integrali, ma questo è facile
Posso fare quindi così:
$1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_s^2cos^2(X_s)\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(s)ds)\leq 1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_s^2\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(s)ds)\leq1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_{s\wedge\tau_n}^2ds)=1+4\mathbb{E}(\int_0^tY_{s\wedge\tau_n}^2ds)$.
Sapendo però che $\{Y_t\}_{t\in[0,T]}$ è una martingala locale e che $\tau_n$ è una successione di tempi d'arresto potevo arrivare lo stesso a una maggiorazione di quel genere ($\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)\leqa+b\int_0^t\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)ds$) senza fare troppi conti?
$1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_s^2cos^2(X_s)\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(s)ds)\leq 1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_s^2\mathbb{1}_{[0,\tau_n)}(s)ds)\leq1+\mathbb{E}(\int_0^t4Y_{s\wedge\tau_n}^2ds)=1+4\mathbb{E}(\int_0^tY_{s\wedge\tau_n}^2ds)$.
Sapendo però che $\{Y_t\}_{t\in[0,T]}$ è una martingala locale e che $\tau_n$ è una successione di tempi d'arresto potevo arrivare lo stesso a una maggiorazione di quel genere ($\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)\leqa+b\int_0^t\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)ds$) senza fare troppi conti?
l'ultima disuguaglianza è un uguaglianza.
Non ho capito bene la tua ultima frase (sarà la stanchezza...)... in ogni modo i conti sono finiti: per finire devi dire perchè si possono scambiare i due integrali tra loro (la speranza e l'integrale)...
Non ho capito bene la tua ultima frase (sarà la stanchezza...)... in ogni modo i conti sono finiti: per finire devi dire perchè si possono scambiare i due integrali tra loro (la speranza e l'integrale)...
Si, avevo dimenticato di scrivere l'ultimo passaggio che comunque si fa per Fubini.
E' vero che l'esercizio così sarebbe risolto comunque, solo che quando ho chiesto alla mia professoressa mi ha detto che per dimostrare che $\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)\leqa+b\int_0^t\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)ds$ potevo sfruttare anche il fatto che $\{Y_t\}_{t\in[0,T]}$ è una martingala locale (ha parlato anche di variazione quadratica) e mi sarei risparmiata tutti quei conti, però non mi viene in mente il perchè quella disuguaglianza dovrebbe essere quasi immediata sfruttando questo fatto.
E' vero che l'esercizio così sarebbe risolto comunque, solo che quando ho chiesto alla mia professoressa mi ha detto che per dimostrare che $\mathbb{E}(Y_{t\wedge\tau_n}^2)\leqa+b\int_0^t\mathbb{E}(Y_{s\wedge\tau_n}^2)ds$ potevo sfruttare anche il fatto che $\{Y_t\}_{t\in[0,T]}$ è una martingala locale (ha parlato anche di variazione quadratica) e mi sarei risparmiata tutti quei conti, però non mi viene in mente il perchè quella disuguaglianza dovrebbe essere quasi immediata sfruttando questo fatto.
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