Esercizio con distribuzione di Poisson e di Erlang
Un rivelatore è esposto ad una radiazione di fondo di intensità nota $r_F=2 s^{−1}$. In presenza di una
sorgente radioattiva, di intensità ignota $r_S$, il rivelatore registra $400$ conteggi in un intervallo $∆t_0=50 s$.
1. Fare il grafico della funzione di distribuzione (solo termini con probabilità $≥5%$) che descrive il
numero di conteggi di fondo per un intervallo di tempo $∆t_1=1 s$. Si riporti sul grafico la moda, la media ± una deviazione standard.
2. Stimare l’intensità della sorgente con relativa incertezza.
3. Indicare l’intervallo del tempo di attesa al $68%$ di probabilità per osservare $25$ conteggi.
4. Quanto vale la probabilità di registrare esattamente $400$ conteggi in una nuova misura in un tempo $∆t_0$?
Per quanto riguarda il primo punto sono riuscito a fare il grafico con le occorrenze con $p \geq 5% $
Inoltre so che la moda è $\lambda -1, \lambda$ e quindi $=1,2$; la media è $\lambda$ e la deviazione standard $\sqrt{\lambda}$.
Per stimare l'intensità della sorgente con relativa incertezza mi sono calcolato il numero di conteggi del solo fondo a partire dalla rate $r_s$
$\lambda_F = r_F \cdot \Delta t_0 = 2 s^{-1} \cdot 50 s = 100$
Facendo $\lambda_{F+S} - \lambda_{F}$ mi trovo la $\lambda_S: 400-100 = 300$ e dunque la deviazione standard è $\sqrt{\lambda} = \sqrt{300} = 20$. Ora ci possiamo dunque calcolare la $r_S = \frac{300}{50} = 6.0 s^{-1} $ e la deviazione standard è $\frac{20}{50} = 0.4$
$r_S = 6.0 \pm 0.4$
Per quanto riguarda il terzo e il quarto punto non so bene come fare. Siccome mi chiede il tempo di attesa per 25 conteggi credo di dover utilizzare le formule della distribuzione di Erlang. Dove la formula per calcolare media e deviazione standard è $k\tau \pm \sqrt{k\tau}$ e $\tau = \frac{1}{r}$. Non so però bene come rispondere alla domanda.
Per quanto riguarda il quarto punto invece viene suggerito di utilizzare la distribuzione predittiva.
Grazie come sempre dell'aiuto e buona serata
sorgente radioattiva, di intensità ignota $r_S$, il rivelatore registra $400$ conteggi in un intervallo $∆t_0=50 s$.
1. Fare il grafico della funzione di distribuzione (solo termini con probabilità $≥5%$) che descrive il
numero di conteggi di fondo per un intervallo di tempo $∆t_1=1 s$. Si riporti sul grafico la moda, la media ± una deviazione standard.
2. Stimare l’intensità della sorgente con relativa incertezza.
3. Indicare l’intervallo del tempo di attesa al $68%$ di probabilità per osservare $25$ conteggi.
4. Quanto vale la probabilità di registrare esattamente $400$ conteggi in una nuova misura in un tempo $∆t_0$?
Per quanto riguarda il primo punto sono riuscito a fare il grafico con le occorrenze con $p \geq 5% $
Inoltre so che la moda è $\lambda -1, \lambda$ e quindi $=1,2$; la media è $\lambda$ e la deviazione standard $\sqrt{\lambda}$.
Per stimare l'intensità della sorgente con relativa incertezza mi sono calcolato il numero di conteggi del solo fondo a partire dalla rate $r_s$
$\lambda_F = r_F \cdot \Delta t_0 = 2 s^{-1} \cdot 50 s = 100$
Facendo $\lambda_{F+S} - \lambda_{F}$ mi trovo la $\lambda_S: 400-100 = 300$ e dunque la deviazione standard è $\sqrt{\lambda} = \sqrt{300} = 20$. Ora ci possiamo dunque calcolare la $r_S = \frac{300}{50} = 6.0 s^{-1} $ e la deviazione standard è $\frac{20}{50} = 0.4$
$r_S = 6.0 \pm 0.4$
Per quanto riguarda il terzo e il quarto punto non so bene come fare. Siccome mi chiede il tempo di attesa per 25 conteggi credo di dover utilizzare le formule della distribuzione di Erlang. Dove la formula per calcolare media e deviazione standard è $k\tau \pm \sqrt{k\tau}$ e $\tau = \frac{1}{r}$. Non so però bene come rispondere alla domanda.
Per quanto riguarda il quarto punto invece viene suggerito di utilizzare la distribuzione predittiva.
Grazie come sempre dell'aiuto e buona serata
Risposte
"francyiato":
1. Fare il grafico della funzione di distribuzione (solo termini con probabilità $≥5%$)
Si riporti sul grafico la moda, la media ± una deviazione standard.
La funzione di distribuzione è la CDF, quindi nel caso della tua poisson di media 2 il grafico è come il secondo di questo link. Quella che hai disegnato tu è la funzione di massa di probabilità di una poisson.
"Si riporti sul grafico la moda"... non la (le) vedo
"Si riporti sul grafico la media $+-sigma$...non vedo nemmeno questo intervallo.
In compenso hai riportato sul grafico le occorrenze con probabilità bassa che non era richiesto.
Il resto non l'ho quardato con attenzione ma si tratta solo di prendere le formule dal libro ed applicarle, non c'è nulla da ragionarci.
Ciao hai ragione, provvederò a rifare il grafico (magari su carta perché su MATLAB non riesco a disegnare moda, media e dev.std) di una CDF e non di una PDF.
Per quanto riguarda il punto 3 ho applicato questa formula $ k\tau \pm \sqrt{k\tau} $ e ho trovato che $∆t= 3.1±0.6 s$
Il testo pero specifica che: Siccome r è noto con un incertezza del 5% trascuriamo l’incertezza su r. Dovremmo a rigore usare la distribuzione predittiva.
E fa utilizzo della distribuzione predittiva (che non abbiamo fatto a lezione
) anche nel punto 4:
4. Distribuzione predittiva in regime gaussiano con $σ =\sqrt{σ_p^2 + \sigma_f^2} =\sqrt{2}σ$ per cui $x:N(400,28)$.
Nell’approssimazione di distribuzioni discreta (Poisson) a continua (Gauss) il numero cercato
equivale alla p.d.f. nel punto richiesto $(∆x=1)$. Quindi $P(400)=1/(\sqrt{2π} · σ)=1.4%$.
In primis non capisco che cosa fa, ma questo è dovuto (credo) al fatto che non conosco la distribuzione predittiva; in secundis non capisco perché non si calcoli questa probabilità direttamente con le formule della poissoniana, che se non ho fatto male i calcoli dovrebbero restituire $2.0%$
Per quanto riguarda il punto 3 ho applicato questa formula $ k\tau \pm \sqrt{k\tau} $ e ho trovato che $∆t= 3.1±0.6 s$
Il testo pero specifica che: Siccome r è noto con un incertezza del 5% trascuriamo l’incertezza su r. Dovremmo a rigore usare la distribuzione predittiva.
E fa utilizzo della distribuzione predittiva (che non abbiamo fatto a lezione
) anche nel punto 4:4. Distribuzione predittiva in regime gaussiano con $σ =\sqrt{σ_p^2 + \sigma_f^2} =\sqrt{2}σ$ per cui $x:N(400,28)$.
Nell’approssimazione di distribuzioni discreta (Poisson) a continua (Gauss) il numero cercato
equivale alla p.d.f. nel punto richiesto $(∆x=1)$. Quindi $P(400)=1/(\sqrt{2π} · σ)=1.4%$.
In primis non capisco che cosa fa, ma questo è dovuto (credo) al fatto che non conosco la distribuzione predittiva; in secundis non capisco perché non si calcoli questa probabilità direttamente con le formule della poissoniana, che se non ho fatto male i calcoli dovrebbero restituire $2.0%$
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