Esercizio con distribuzione di Poisson
Salve a tutti, scorrendo la lista degli esercizi presenti nella pagina del mio professore di Probabilità e Statistica, mi sono imbattuto in un esercizio che mi sta creando non poche difficoltà. Innanzi tutto vi scrivo il testo:
"Un generatore di tensione fornisce una tensione alternata nella forma $ V(t) = A cos(wt) $ . Ogni qual volta il generatore viene disturbato, esso incrementa la fase del segnale di una quantità fissa $ q $ . In altre parole se il segnale viene disurbato $ n $ volte, allora esso è $ A cos (wt + nq) $ con $ q $ fissata. Si assuma che il numero di volte che il generatore viene disturbato sia distribuito in maniera poissoniana di parametro $ mu $ .
1) Dimostrare esplicitamente che la funzione caratteristica di tale poissoniana si scrive come:
$ G(k) = e^{-u(1-cosk)}[cos(mu sin(k)+isin(musin(k)] $
2) Calcolare infine il valor medio di $ V(t) $ ."
Riguardo il punto uno, per funzione caratteristica credo che intenda la funzione generatrice dei momenti.
Per una generica distribuzione poissoniana di parametro $ lambda $ io so che tale funzione si mostra come:
$ g(t,Y) = E(e^{tY}) = e^-lambda sum {lambda^n e^{tn}}/{n!} = e^-lambda e^{lambda e^t} $
quindi nel mio caso $ g(t)=e^-mu e^{mu e ^t} $ . Sostituendo $ t = ik $ il tutto mi tornerebbe dato che $ ik=cosk+isink $ .
Perchè sostituire $ ik = t $ però?
Riguardo il punto due credo che basti calcolare $ E|V(t)| = sum A cos(wt + nq) mu^n/{n!}e^-mu $ giusto? Provo difficoltà però a renderla in una forma migliore a questo punto.
Vi ringrazio per qualsiasi tipo di aiuto/delucidazione in merito.
"Un generatore di tensione fornisce una tensione alternata nella forma $ V(t) = A cos(wt) $ . Ogni qual volta il generatore viene disturbato, esso incrementa la fase del segnale di una quantità fissa $ q $ . In altre parole se il segnale viene disurbato $ n $ volte, allora esso è $ A cos (wt + nq) $ con $ q $ fissata. Si assuma che il numero di volte che il generatore viene disturbato sia distribuito in maniera poissoniana di parametro $ mu $ .
1) Dimostrare esplicitamente che la funzione caratteristica di tale poissoniana si scrive come:
$ G(k) = e^{-u(1-cosk)}[cos(mu sin(k)+isin(musin(k)] $
2) Calcolare infine il valor medio di $ V(t) $ ."
Riguardo il punto uno, per funzione caratteristica credo che intenda la funzione generatrice dei momenti.
Per una generica distribuzione poissoniana di parametro $ lambda $ io so che tale funzione si mostra come:
$ g(t,Y) = E(e^{tY}) = e^-lambda sum {lambda^n e^{tn}}/{n!} = e^-lambda e^{lambda e^t} $
quindi nel mio caso $ g(t)=e^-mu e^{mu e ^t} $ . Sostituendo $ t = ik $ il tutto mi tornerebbe dato che $ ik=cosk+isink $ .
Perchè sostituire $ ik = t $ però?
Riguardo il punto due credo che basti calcolare $ E|V(t)| = sum A cos(wt + nq) mu^n/{n!}e^-mu $ giusto? Provo difficoltà però a renderla in una forma migliore a questo punto.
Vi ringrazio per qualsiasi tipo di aiuto/delucidazione in merito.
Risposte
La definzione della funzione caratteristica "assomiglia molto" alla definzione di Funzione Generatrice dei momenti essendo la seguente:
$phi_(X)(t)=E[e^(itX)]$
e soprattutto ha il medesimo scopo, ovvero generare i momenti (ammesso che esistano) di una determinata variabile aleatoria:
$E[X^n]=(-i)^nphi_(X)^(n)(0)=(-i)^n[d^n/(dt^n)phi_(X)(t)]_(t=0)$
...quindi devi:
1) dimostrare che il valore atteso che ti ho indicato coincide con la funzione proposta dal testo
2) derivare la funzione caratteristica e valutarla in $t=0$ per trovare la previsione.
buon lavoro
$phi_(X)(t)=E[e^(itX)]$
e soprattutto ha il medesimo scopo, ovvero generare i momenti (ammesso che esistano) di una determinata variabile aleatoria:
$E[X^n]=(-i)^nphi_(X)^(n)(0)=(-i)^n[d^n/(dt^n)phi_(X)(t)]_(t=0)$
...quindi devi:
1) dimostrare che il valore atteso che ti ho indicato coincide con la funzione proposta dal testo
2) derivare la funzione caratteristica e valutarla in $t=0$ per trovare la previsione.
buon lavoro
Gentilissimo, tutto chiaro adesso
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