Esercizio: come fare?

[FraSB83]

Ho il seguente esercizio da risolvere per favore...
Si considerino n urne, ciascuna contenente n1 palle bianche e n2 palle nere. Una palla viene scelta a caso dalla prima urna e riposta nella seconda, poi si sceglie una palla nella seconda e riposta nella terza e così via. Infine si sceglie una palla dall'ultima urna e viene esaminata. Qual è la probabilità che sia una palla bianca?
Grazie,
ciao!

[topi1]

In una qualunque urna la probabilità che la palla estratta sia bianca vale n1/(n1+n2)
Il fatto che prima di effettuare l' estrazione abbia rimescolato, travasato etc palline dall' una o dall' altra urna non ha importanza. La prima palla che estraggo ha comunque la probabilità n1/(n1+n2) di essere bianca

[FraSB83]

e' giusto, in quanto la soluzione dice così... ma da dove prendo tutto il procedimento? grazie

[clrscr]

Poniamo il caso di avere 3 urne.
Chiamerò con B il numero di palline bianche e N il numero di palline nere in ogni urna.
Inoltre $P_n(B|N)$ è la probabilità che peschi una pallina bianca nell'urna n-esima sapendo che nell'urna precedente ho estratto una pallina Nera e sarà uguale a $B/(B+N+1)$.
Si definiscono da sole le probabilità:
$P(B|B)$, $P(N|B)$, $P(N|N)$.

Ora nel caso di 3 urne si avrà:

$P(B)=P_3(B|N)*P_2(N)+P_3(B|B)*P_2(B)$

Ora sviluppando P_2(B) e P_2(N) si otterrà una cosa del genere:

$P_3(B|N)*P_2(N|B)*P_1(B)+P_3(B|N)*P_2(N|N)*P_1(N)+P_3(B|B)*P_2(B|N)*P_1(N)+P_3(B|B)*P_2(B|B)*P_1(B)$ e scrivendo per esteso le rispettiva probabilità si avrà:

$B/(B+N+1)*N/(B+N+1)*B/(B+N)+B/(B+N+1)*(N+1)/(B+N+1)*N/(B+N)+(B+1)/(B+N+1)*B/(B+N+1)*N/(B+N)+(B+1)/(B+N+1)*+(B+1)/(B+N+1)*B/(B+N)$
Raccolgliendo si ottiene:
$(B*N)/(B+N+1)*1/(B+N)+(B*(B+1))/(B+N+1)*1/(B+N)=B/(B+N)$.
Ora estendendo questo ragionamento per "n" qualsiasi si otterrà lo stesso risultato.