Esercizio Catene di Markov discrete

monica_n
Buonasera a tutti! :-)
Ho qualche difficoltà con il seguente esercizio:

$ P=( ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 5/6 , 1/6 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1/2 , 1/2 , 0, 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1/3 , 1/3 , 0 , 0 , 0 , 1/3 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 2/3, 0 , 1/3)) $
matrice di transizione della CdM $ (X_n)_(nin N) $ con insieme degli stati I={1, 2, 3, ..., 7} e legge iniziale $ mu _0=(1/4,0,0,0,1/4,1/2,0) $
Mi chiede di:
1)Classificare gli stati e trovarne il periodo
2)Calcolare tutte le leggi invarianti
3)Determinare la legge di $T_2$ tempo del 1° ingresso in 2
4) Calcolare $ E_6[T_2|T_2< $ infinito]
5) Determinare il $ lim P(X_1=7, X_n=X_(n+1)) $ per n che tende ad infinito.

Per il punto 1 trovo, {1,3} classe ricorrente ma per il periodo? Se parto da 1 torno in 1 solo in due passi, questo significa che il periodo è 2? Poi trovo {2,4,5} classe ricorrente aperiodica e infine {6,7} transiente aperiodici.
2) nessun problema
3) Qui iniziano i problemi, dovrei considerate la probabilità: $ P(T_2=n) $ giusto? Allora io ho pensato che se parto da 1 o da 3 questa è zero perché non posso arrivare in 2, per gli altri stati ho fatto considerazioni simili, tipo se parto da 4 posso arrivare in 2 in tre passi o rimanere in 4 per un po' e poi andare da 4 in 5 e da 5 in 2 ecc, ma di fatto non so trovare la legge come devo fare?
Per i punti 4 e 5 non so dove mettere mani. :( Potreste aiutarmi? Grazie mille a tutti!

Risposte
ghira1
"monicaX":

4) Calcolare $ E_6[T_2|T_2< $ infinito]
5) Determinare il $ lim P(X_1=7, X_n=X_(n+1)) $ per n che tende ad infinito.


Per "4" io cambierei la catena. Elimino il passaggio da 6 a 3. Elimino gli stati 1 e 3. Faccio il solito calcolo per trovare il tempo medio per arrivare in 2 partendo da 6.

"5" ti sta chiedendo che proporzione del tempo passi nei due stati che portano a se stessi, essenzialmente. Il valore che ti chiede non è quello, ma insomma. E puoi eliminare gli stati 1, 3 e 6 dalla catena perché cominciando nello stato 7 non li vedrai mai. E in realtà la domanda è sullo stato 4 perché nel lungo termine lo stato 7 non importa.

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