Esercizio calcolo delle probabilità - Poker
Buongiorno a tutti. Sono alle prese con il seguente esercizio di probabilità.
Calcolare la probabilità che giocando in 4 a poker con un mazzo da 52 uno (solo) dei giocatori abbia un poker di K servito.
(Ogni giocatore riceve 5 carte).
L'esercizio l'ho preso da qua (Esercizio 10): http://webusers.fis.uniroma3.it/liquids ... t%E0_3.pdf
Io ho proceduto in questo modo.
Indichiamo con $G_i$ l'evento "all' i-simo giocatore viene servito un poker di K". Quello che vogliamo calcolare è la probabilità che si verifichi l'evento $ G=G_1 \cup G_2 \cup G_3 \cup G_4 $; poichè gli eventi $ G_i$ sono incompatibili, la probabilità cercata sarà $ P(G) = \sum_i P(G_i) $.
Innanzitutto, la probabilità che al primo giocatore venga servito un poker di K è data da:
$ P(G_1) = { ( (4), (4) ) ( (48), (1) ) } / {( (52), (5) )} $.
Ora, il punto su cui mi sono bloccato è il seguente: le probabilità $P(G_i), \ i=2,3,4 $ non sono tutte uguali a quest'ultima?
In tal caso avrei che la probabilità cercata è:
$ P(G) = 4 { ( (4), (4) ) ( (48), (1) ) } / {( (52), (5) )} $.
Invece, guardando lo svolgimento sul pdf, la probabilità $P(G_i), i>1$ viene calcolata supponendo che a $j$ giocatori, $j=i-1$, non sia stato servito il poker di K, ottenendo così delle probabilità via via crescenti...Che ne pensate?
Calcolare la probabilità che giocando in 4 a poker con un mazzo da 52 uno (solo) dei giocatori abbia un poker di K servito.
(Ogni giocatore riceve 5 carte).
L'esercizio l'ho preso da qua (Esercizio 10): http://webusers.fis.uniroma3.it/liquids ... t%E0_3.pdf
Io ho proceduto in questo modo.
Indichiamo con $G_i$ l'evento "all' i-simo giocatore viene servito un poker di K". Quello che vogliamo calcolare è la probabilità che si verifichi l'evento $ G=G_1 \cup G_2 \cup G_3 \cup G_4 $; poichè gli eventi $ G_i$ sono incompatibili, la probabilità cercata sarà $ P(G) = \sum_i P(G_i) $.
Innanzitutto, la probabilità che al primo giocatore venga servito un poker di K è data da:
$ P(G_1) = { ( (4), (4) ) ( (48), (1) ) } / {( (52), (5) )} $.
Ora, il punto su cui mi sono bloccato è il seguente: le probabilità $P(G_i), \ i=2,3,4 $ non sono tutte uguali a quest'ultima?
In tal caso avrei che la probabilità cercata è:
$ P(G) = 4 { ( (4), (4) ) ( (48), (1) ) } / {( (52), (5) )} $.
Invece, guardando lo svolgimento sul pdf, la probabilità $P(G_i), i>1$ viene calcolata supponendo che a $j$ giocatori, $j=i-1$, non sia stato servito il poker di K, ottenendo così delle probabilità via via crescenti...Che ne pensate?
Risposte
Mi sembra tutto strano.
Sia il testo del problema, sia la soluzione.
Premetto che non sono un grande esperto di formule...
Cosa vuol dire: "Calcolare la probabilità che giocando in 4 a poker con un mazzo da 52 carte uno (solo) dei giocatori abbia un poker di K servito."
E' logico che solo UNO dei giocatori possa averlo! Mica possono essere in due o più. Solo 4 K ci sono in un mazzo, mica di più.
E poi mica è vero, che se il primo non ha il poker di K, la probabilità di averlo per gli altri aumenta.
Il primo può benissimo non avere il poker di K, ma può averne uno o più. Nel qual caso la probabilità di far poker di K, per gli altri è nulla.
Per essere più chiaro: il secondo giocatore può far poker di K non solo nel caso che il primo non l'abbia fatto, ma nel caso che il primo non abbia NESSUN K.
Il terzo può far poker di K non solo nel caso che i primi due non l'abbiano fatto, ma nel caso che NESSUNO dei primi due abbia ALMENO un K.
Etc.....
Per me la probabilità di far poker di K, è uguale per tutti i giocatori.
Sia il testo del problema, sia la soluzione.
Premetto che non sono un grande esperto di formule...
Cosa vuol dire: "Calcolare la probabilità che giocando in 4 a poker con un mazzo da 52 carte uno (solo) dei giocatori abbia un poker di K servito."
E' logico che solo UNO dei giocatori possa averlo! Mica possono essere in due o più. Solo 4 K ci sono in un mazzo, mica di più.
E poi mica è vero, che se il primo non ha il poker di K, la probabilità di averlo per gli altri aumenta.
Il primo può benissimo non avere il poker di K, ma può averne uno o più. Nel qual caso la probabilità di far poker di K, per gli altri è nulla.
Per essere più chiaro: il secondo giocatore può far poker di K non solo nel caso che il primo non l'abbia fatto, ma nel caso che il primo non abbia NESSUN K.
Il terzo può far poker di K non solo nel caso che i primi due non l'abbiano fatto, ma nel caso che NESSUNO dei primi due abbia ALMENO un K.
Etc.....
Per me la probabilità di far poker di K, è uguale per tutti i giocatori.
La penso allo stesso modo ...
Quindi per te è corretto
$ P(G) = 4 { ( (4), (4) ) ( (48), (1) ) } / {( (52), (5) )} = {4} / {54145} = 7,3876 * 10^{-5} ? $
Qualcuno la pensa diversamente??
Quindi per te è corretto
$ P(G) = 4 { ( (4), (4) ) ( (48), (1) ) } / {( (52), (5) )} = {4} / {54145} = 7,3876 * 10^{-5} ? $
Qualcuno la pensa diversamente??
Ciao.
E' corretto che la probabilità di un giocatore di avere servito un poker di K sia: $1/54145$.
Non ritengo invece corretto che ad un tavolo da 4, la probabilità di un giocatore di avere un poker di K servito sia $4/54145$.
Perchè se i giocatori fossero 54145 la probabilità sarebbe certa.
O per meglio dire, disputando 13537 mani, la probabilità diventerebbe certa.
Ma non riesco ad impostare il calcolo corretto....
E' corretto che la probabilità di un giocatore di avere servito un poker di K sia: $1/54145$.
Non ritengo invece corretto che ad un tavolo da 4, la probabilità di un giocatore di avere un poker di K servito sia $4/54145$.
Perchè se i giocatori fossero 54145 la probabilità sarebbe certa.
O per meglio dire, disputando 13537 mani, la probabilità diventerebbe certa.
Ma non riesco ad impostare il calcolo corretto....
Ci sono.
La probabilità che giocando in 4 a poker, uno dei giocatori abbia il poker di K servito è:
$1-(54144/54145)^4$
La probabilità che giocando in 4 a poker, uno dei giocatori abbia il poker di K servito è:
$1-(54144/54145)^4$
Ok, grazie! Ad ogni modo i due risultati sono praticamente uguali! 
$ {4} / {54145} = 7,38757 * 10^{-5} $
$ \{ 1 - ( {54144} / {54145} ) ^4 \} = 7,38736 *10^{-5} $
Secondo te perchè c'è questa (minima) differenza?
$ {4} / {54145} = 7,38757 * 10^{-5} $
$ \{ 1 - ( {54144} / {54145} ) ^4 \} = 7,38736 *10^{-5} $
Secondo te perchè c'è questa (minima) differenza?
Si. Lo sapevo che la differenza sarebbe stata minima.
Praticamente inesistente.
Ma questo perchè il numero di prove (4) è piccolo.
Più il numero di prove aumenta, più la differenza aumenta.
Praticamente inesistente.
Ma questo perchè il numero di prove (4) è piccolo.
Più il numero di prove aumenta, più la differenza aumenta.
Ciao Sergio.
Sono d'accordo con te che la probabilità di avere un poker di K servito, sia uguale per il primo, per il secondo, per il quarto, per il centesimo, per l'ennesimo giocatore.
L'avevo anche scritto.
Certo tu l'hai esplicitato un po' meglio...
Non sono invece d'accordo sul fatto di moltiplicare per 4, per trovare la probabilità che uno dei 4 abbia il poker di K servito.
Perchè come ho già detto, assodato che la probabilità che l'evento succeda è $1/54145$, se le prove fossero 54145, calcolando in quella maniera la probabilità sarebbe $54145*1/54145=54145/54145=1$. Il che non è ovviamente possibile.
Mentre il calcolo corretto è $1-(54144/54145)^54145$. Che non ho la minima idea di quanto fa....
Sono d'accordo con te che la probabilità di avere un poker di K servito, sia uguale per il primo, per il secondo, per il quarto, per il centesimo, per l'ennesimo giocatore.
L'avevo anche scritto.
Certo tu l'hai esplicitato un po' meglio...
Non sono invece d'accordo sul fatto di moltiplicare per 4, per trovare la probabilità che uno dei 4 abbia il poker di K servito.
Perchè come ho già detto, assodato che la probabilità che l'evento succeda è $1/54145$, se le prove fossero 54145, calcolando in quella maniera la probabilità sarebbe $54145*1/54145=54145/54145=1$. Il che non è ovviamente possibile.
Mentre il calcolo corretto è $1-(54144/54145)^54145$. Che non ho la minima idea di quanto fa....
La mia "provocazione" su 54145 prove, chiaramente non era riferita 54145 giocatori allo stesso tavolo con un mazzo da 52 carte.
Ma a 54145 giocate.
Ovvero a 13537 "mani" giocate da un tavolo formato da 4 giocatori.
$13537*4=54148$
Calcolo secondo sudest $54148*1/54145=54148/54145=1.000055$ - Non possibile
Calcolo secondo Luciano $1-(54144/54145)^54148=0,63$ - Possibile
Ma a 54145 giocate.
Ovvero a 13537 "mani" giocate da un tavolo formato da 4 giocatori.
$13537*4=54148$
Calcolo secondo sudest $54148*1/54145=54148/54145=1.000055$ - Non possibile
Calcolo secondo Luciano $1-(54144/54145)^54148=0,63$ - Possibile
O.K.
Ad un certo punto mi era venuto il sospetto che stavamo parlando di due cose diverse....
Saluti.
Luciano.
Ad un certo punto mi era venuto il sospetto che stavamo parlando di due cose diverse....
Saluti.
Luciano.
Grazie ad entrambi, risposte molto chiare ed esaustive!
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