Esercizio Calcolo delle Probabilità
Ciao Ragazzi Potete aiutarmi a risolvere questi esercizi .. Grazie
1) Sia X una variabile casuale di Bernoulli di parametro p ed Y una variabile
casuale binomiale di parametri p e 5. Le due variabili sono indipendenti fra loro.
Calcolare: E(XY ), E(X + Y ), Var(X + Y ), P(X + Y = 3), P(Y ≤ X).
2)
Siano X ed Y due variabili casuali di Poisson di parametro 1. Calcolare
P(X = 1, Y = 2), P(X + Y = 2).
1) Sia X una variabile casuale di Bernoulli di parametro p ed Y una variabile
casuale binomiale di parametri p e 5. Le due variabili sono indipendenti fra loro.
Calcolare: E(XY ), E(X + Y ), Var(X + Y ), P(X + Y = 3), P(Y ≤ X).
2)
Siano X ed Y due variabili casuali di Poisson di parametro 1. Calcolare
P(X = 1, Y = 2), P(X + Y = 2).
Risposte
aggiungo che in tutti gli esercizi le variabili sono indipendenti tra di loro ... Grazie mille per ogni aiuto 
prego...ma finché non posti una bozza di soluzione (scritta in maniera leggibile) non penso avrai aiuti...(per lo meno non da parte mia)
giusto per farti apprezzare la "difficoltà" degli esercizi proposti ti risolvo il primo punto del primo:
data l'indipendenza delle variabili
$E(XY)=E(X)E(Y)=p\cdot 5p=5p^2$
ed anche il più "complicato":
$P(X+Y)=3$
data l'indipendenza $Z=(X+Y)~B(6,p)$
quindi $P(X+Y=3)=((6),(3))p^3q^3=20p^3q^3$
aspettiamo tutti i tuoi progressi....
PS: per scrivere le formule è sufficiente leggere qui
cordiali saluti
giusto per farti apprezzare la "difficoltà" degli esercizi proposti ti risolvo il primo punto del primo:
data l'indipendenza delle variabili
$E(XY)=E(X)E(Y)=p\cdot 5p=5p^2$
ed anche il più "complicato":
$P(X+Y)=3$
data l'indipendenza $Z=(X+Y)~B(6,p)$
quindi $P(X+Y=3)=((6),(3))p^3q^3=20p^3q^3$
aspettiamo tutti i tuoi progressi....
PS: per scrivere le formule è sufficiente leggere qui
cordiali saluti
io ho provato a risolvere i primi 3 punti del primo esercizio. nel primo punto ho confrontato la mia soluzione con la tua ed era corretta, il secondo punto l'ho risolto cosi: $ E(X + Y)= p + 5p= 6p $
il terzo punto l'ho risolto in questo modo : $ Var(X+Y)= p(1-p) + 5p(1-p)=6p-6p^2 $
Per il 4 punto mi sono venute in mente queste soluzioni:
$ P(X+Y=3) = P(X=3-Y)=p^i (1-p)^(1-i) $ con $ i= 3-P(Y) $
oppure
$ P(X)+P(Y)=3 = p+5p=3 => 6p = 3 => p= 1/2 $
per l'ultimo punto non ho trovato nulla sul libro: c'è scritto una risoluzione tramite software solamente, senza alcuna spiegazione o formula, quindi non so proprio come affrontare il problema. Ho cercato anche su internet ma non ho trovato nulla.
Nell'altro esercizio ho avuto gli stessi problemi per: $ P(X=1,Y=2) $ e per $ P(X+Y=2) $
dato che i problemi sono simili solo che uno è affrontato per le variabili binomiali e di Bernoulli e l'altro per Poisson
il terzo punto l'ho risolto in questo modo : $ Var(X+Y)= p(1-p) + 5p(1-p)=6p-6p^2 $
Per il 4 punto mi sono venute in mente queste soluzioni:
$ P(X+Y=3) = P(X=3-Y)=p^i (1-p)^(1-i) $ con $ i= 3-P(Y) $
oppure
$ P(X)+P(Y)=3 = p+5p=3 => 6p = 3 => p= 1/2 $
per l'ultimo punto non ho trovato nulla sul libro: c'è scritto una risoluzione tramite software solamente, senza alcuna spiegazione o formula, quindi non so proprio come affrontare il problema. Ho cercato anche su internet ma non ho trovato nulla.
Nell'altro esercizio ho avuto gli stessi problemi per: $ P(X=1,Y=2) $ e per $ P(X+Y=2) $
dato che i problemi sono simili solo che uno è affrontato per le variabili binomiali e di Bernoulli e l'altro per Poisson
il quarto punto te l'ho già risolto io....vedi se ti è chiaro. Il terzo va bene, anche se come soluzione non mi piace...
...ora vediamo il quinto
$P(Y<=X)=P(Y=0)+P(Y=1)P(X=1)$
quindi ti basta sostituire ed hai finito
Per il secondo esercizio....primo punto: per l'indipendenza basta moltiplicare le due probabilità, dato che indipendenza significa $P(X,Y)=P(X)P(Y)$
Per il secondo punto: la somma di n poisson indipendenti di parametro $lambda$ si distribuisce ancora come una poisson di parametro $nlambda$....quindi...
...ora vediamo il quinto
$P(Y<=X)=P(Y=0)+P(Y=1)P(X=1)$
quindi ti basta sostituire ed hai finito
Per il secondo esercizio....primo punto: per l'indipendenza basta moltiplicare le due probabilità, dato che indipendenza significa $P(X,Y)=P(X)P(Y)$
Per il secondo punto: la somma di n poisson indipendenti di parametro $lambda$ si distribuisce ancora come una poisson di parametro $nlambda$....quindi...
Grazie mille ... Nel punto 4 non riesco a capire perché $ Z=(X+Y)~B(6,p) $
per quanto riguarda il secondo punto del secondo esercizio $ n= 2 ,lambda =1 $ ( dal testo) quindi = 2
Ancora Grazie mille
per quanto riguarda il secondo punto del secondo esercizio $ n= 2 ,lambda =1 $ ( dal testo) quindi = 2
Ancora Grazie mille
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