Esercizio calcolo combinatorio palline!

[caramella82]

In quanti modi si possono distribuire 20 palline uguali in 5 scatole diverse?

Ragazzi non sò da dove partire , chi mi aiuta a ragionare?
sò solo che saranno 4 palline in ogni scatola, per avere 20 palline sistemate.

[Rggb1]

"caramella82":sò solo che saranno 4 palline in ogni scatola, per avere 20 palline sistemate.

Non direi; chiamiamo le scatole A, B, C, D, E (oppure possiamo numerarle), e vedi che questa combinazione:

tre palline in A
otto palline in B
una pallina in C
due palline in D
sei palline in E

è perfettamente valida.

[caramella82]

ah ok, giusto perchè il testo non mi dice che avrò un numero esatto di palline in ogni scatola. ok!
però come procedo?

[Rggb1]

Prova a vederla così: immaginiamo di avere le palline in una fila; per fare cinque gruppi poniamo un separatore fra una pallina e l'altra (es. un legnetto); numeriamo le posizioni fra una pallina e la successiva con i numeri 1..19, avremo poi quattro legnetti: in quanti modi posso mettere i 4 legnetti nelle posizioni 1..19?

[caramella82]

..ma ci sono un sacco di modi! come faccio a calcolarli tutti??? io avrei fatto $4! =24$ veramente sono indecisa con $4^4=256$

[Rggb1]

"caramella82":..ma ci sono un sacco di modi! come faccio a calcolarli tutti???

Veramente è un metodo facile e credo tu lo conosca:
http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_co ... tizioni.29

Lì c'è anche un esempio, sembra questo pari pari a parte che l'insieme di partenza è diverso - l'esempio è con {1, ..., 6} e questo problema è con {1, ..., 19}.

[rossy861]

Sono le combinazioni di 20 palline a gruppi di 4 (ogni scatola conterrà 4 palline come hai detto tu, quindi anzichè pensare alle scatole pensa che devi creare dei gruppi di 4 palline!!!) e in numero sono $((20),(4))=\frac{20!}{4!(20-4)!}=116.280$ come ti ha detto Rggb

[Rggb1]

"rossy86":ogni scatola conterrà 4 palline...

Attenzione, ogni scatola può contenere anche un differente numero di palline, vedi il mio esempio sopra.

Mi sono accorto adesso che comunque il problema non lo richiede, quindi magari consideriamo anche la possibilità che una scatola sia vuota.

[caramella82]

no il risultato nel testo è 10626.
Rggb, non capisco sarò dura ma non riesco, non capisco le sostituzioni che devo fare tra n e k

[Rggb1]

"caramella82":no il risultato nel testo è 10626.

Acci - lo sapevo io!

Io avevo pensato ad almeno una pallina per scatola, e quindi ho calcolato $((19),(4))=3876$ modi. Il testo prevede invece di poter avere anche scatole senza palline dentro (pe. tutte le palline nella prima scatola e le altre tutte vuote), il sospetto mi è venuto dianzi dopo l'intervento di rossy86; in questo caso si usano ovviamente le
http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_co ... ipetizioni

Anche qui c'è un esempio (bambini e caramelle); leggi un attimo, e vedrai che torna il risultato del testo.

[caramella82]

ok....scusa ma sono mooooooooolto bacata!

$((n+k, -1) , (n-,1)) = ((20+5, -1) , ( 5-,1))$
che sarebbe
$((24) , (4)) = ((24*23 *22*21) , (24)) = 10626$

evvai il problema delle palline è terminato!

MAHHHHH c'è un grande e grosso mah che ho in questo cervelletto!!
Perchè,
non è la stessa cosa risolverla così? e come faccio a capire quando non devo utilizzare questa formula...mi confondo sempre, e ogni volta risolvo questi tipi di problema in questa maniera :
$((24) , (4)) = ((24!) , (4!(24-4)!))$

$((24*23*22*21*20*19.....*5) , (4!))$

[Rggb1]

"caramella82":$((n+k, -1) , (n-,1)) = ((20+5, -1) , ( 5-,1))$
che sarebbe
$((24) , (4)) = ((24*23 *22*21) , (24)) = 10626$

Attenzione a quello che scrivi, il secondo termine è una frazione e non un coefficiente binomiale, sarebbe così:
$((24),(4))=(24*23*22*21)/(4*3*2)=23*22*21=10626$

Il tuo intervento che segue mica l'ho capito granché... vuoi sapere cosa? Comunque anche lì ci va una frazione
$((24),(4))\ =\ (24!)/((24-4)!*4!)\ =\ (24!)/(20!*4!)\ =\ (24*23*22*...*2)/(20*19*18*...*2*4*3*2)$

[caramella82]

oh cavoli! adesso me lo segno che è una frazione!

l'altra praticamente ehh non è una frazione e non sò come spiegartela ahahaha