Esercizio calcolo combinatorio

[Max9900]

Buonasera a tutti, stavo provando a risolvere il seguente esercizio e ho un dubbio.

TESTO: Dato un gruppo di $40$ alunni, questi devono essere riuniti in $20$ coppie per partecipare ad un ballo. In quanti differenti modi è possibile formare le $20$ coppie?

Ho in mente due soluzioni diverse ma non riesco a capire quale delle due è quella corretta e perché l'altra non lo è.

SOLUZIONE 1: Avendo $40$ alunni il primo potrà scegliere tra $39$ opzioni, il secondo tra $37$ opzioni e così via, ottenendo quindi $C = 39 * 37 * ... * 3 * 1$

SOLUZIONE 2: Avendo $40$ alunni la prima coppia la posso formare in $780$ modi, dove $780$ è il coefficiente binomiale di $40$ elementi di classe $2$; la seconda coppia la posso formare in $703$ modi, dove $703$ è il coefficiente binomiale di $38$ elementi di classe $2$, e così via, moltiplicando poi tra loro tutti i valori ottenuti.


Grazie a chiunque mi aiuterà!!

[matteo1113]

Non vorrei sbagliare, ma mi sa che nel primo metodo stai calcolando quanti modi diversi ci sono di fare coppie, nel secondo calcoli proprio tutte le possibili coppie, quindi calcoli un'altra quantità

[Max9900]

Ok! Dovrei aver capito! Con la SOLUZIONE 2 tengo conto in qualche modo dell'ordine, nel senso che se immagino di avere $6$ persone di nome $A, B, C, D,E ,F$ tramite la SOLUZIONE 1 le coppie $AB, CD, EF$ e $CD, AB, EF$ sono contate come un'unica combinazione possibile, mentre nella SOLUZIONE 2 vengono considerate come due combinazioni diverse, per ricondurmi alla SOLUZIONE 1 mi basta allora dividere il risultato di SOLUZIONE 2 per il fattoriale del numero di coppie, ovvero, nell'esempio, $3!$.

Grazie!