Esercizio calcolo combinatorio
Buongiorno, non riesco a costruire un ragionamento sul seguente problema.
Se ho 6 persone ${a,b,c,d,e,f}$ che devono eleggere un presidente, un segretario e un tesoriere in modo che nessun membro abbia più di una carica, quante possibili scelte se $a$ e $b$ devono avere almeno una carica?
Grazie
Se ho 6 persone ${a,b,c,d,e,f}$ che devono eleggere un presidente, un segretario e un tesoriere in modo che nessun membro abbia più di una carica, quante possibili scelte se $a$ e $b$ devono avere almeno una carica?
Grazie
Risposte
$3!*4=24$
La soluzione ce l'ho , il problema è capire come arrivarci....
a può occupare una qualsiasi delle $3$ cariche.
b occupa una delle $2$ cariche residue.
La terza carica è occupata da uno qualsiasi dei $4$ (c,d,e,f) rimanenti.
$3*2*4=24$
b occupa una delle $2$ cariche residue.
La terza carica è occupata da uno qualsiasi dei $4$ (c,d,e,f) rimanenti.
$3*2*4=24$
Se invece $a$ deve avere almeno una carica?
Nel testo originario c'era scritto che nessun membro poteva avere più di una carica.
Se a può avere più di una carica, potrebbe averle anche tutte e tre.
Nel qual caso b non ne avrebbe nessuna...
Oppure a potrebbe averne 2, b 1 e gli altri nessuna.
Poni un domanda precisa, e ti sarà data una risposta acconcia
Se a può avere più di una carica, potrebbe averle anche tutte e tre.
Nel qual caso b non ne avrebbe nessuna...
Oppure a potrebbe averne 2, b 1 e gli altri nessuna.
Poni un domanda precisa, e ti sarà data una risposta acconcia
La domanda di un vecchio esame era posta proprio così:Quante possibili scelte se $a$ deve avere almeno una carica?
1) a 3 cariche e gli altri nessuna = 1 modo
2) a 2 cariche e b la terza = 3 modi
3) a 2 cariche e la terza a uno qualsiasi degli altri cinque = 15 modi
4) a 1 carica, b un'altra e la terza ad uno qualsiasi degli altri 4 = 24 modi
5) a 1 carica e le altre due ad altri due qualsiasi = 60 modi
6) a 1 carica e le altre due ad uno qualsiasi dei 5 rimanenti = 15 modi
Vedi tu....
2) a 2 cariche e b la terza = 3 modi
3) a 2 cariche e la terza a uno qualsiasi degli altri cinque = 15 modi
4) a 1 carica, b un'altra e la terza ad uno qualsiasi degli altri 4 = 24 modi
5) a 1 carica e le altre due ad altri due qualsiasi = 60 modi
6) a 1 carica e le altre due ad uno qualsiasi dei 5 rimanenti = 15 modi
Vedi tu....
In effetti le domande non sono poste in modo molto chiaro....
Come soluzione mi propongono $6*5*4-5*4*3=60$...
Quella è la risposta alla domanda:"Se ho 6 persone (a,b,c,d,e,f) che devono eleggere un presidente, un segretario ed un tesoriere in modo che nessun membro abbia più di una carica, quante possibili scelte ci sono se $a$ deve avere una (solo una, non almeno una - e b non è detto che ce l'abbia) carica?"
Che io avrei risolto in altra maniera.
a può avere una delle $3$ cariche.
la seconda ce l'ha uno degli altri $5$.
La terza ad una dei $4$ rimanenti.
$3*5*4=60$
Che io avrei risolto in altra maniera.
a può avere una delle $3$ cariche.
la seconda ce l'ha uno degli altri $5$.
La terza ad una dei $4$ rimanenti.
$3*5*4=60$
Se invece c'è un torneodi tennis in cui ci sono 14 persone:
a)Quante partite con 2 sfidanti?$((n),(2))$
b)Fra i concorrenti ci sono Giulio e Marco, quante sfide possiamo organizzare se Giulio può giocare solo con marco?$((12),(2)) +1$
c)Quanti sono gli incontri di doppio?$((14),(4))$ . Mi è venutain mente anche $((14),(2))*((12),(2))$
non so se sono corrette ma le vorrei sottoporre alla vostra attenzione...
a)Quante partite con 2 sfidanti?$((n),(2))$
b)Fra i concorrenti ci sono Giulio e Marco, quante sfide possiamo organizzare se Giulio può giocare solo con marco?$((12),(2)) +1$
c)Quanti sono gli incontri di doppio?$((14),(4))$ . Mi è venutain mente anche $((14),(2))*((12),(2))$
non so se sono corrette ma le vorrei sottoporre alla vostra attenzione...
a) Va bene. Ma non capisco perchè scrivi $n$ e non $14$
b) O.K.
c) nè l'una, nè l'altra. Affinchè i risultati ti coincidano, devi moltiplicare la prima soluzione per $3$ e dividere la seconda per $2$.
Questò perchè nel primo caso ottieni dei quartetti (1-2-3-4) all'interno dei quali hai tre "primi" doppi (1-2; 1-3; 1-4). Il secondo doppio è obbligato.
Nel secondo caso ti può capitare il doppio 1-2 contro 3-4; ma anche 3-4 contro 1-2: Che è la stessa cosa. Pertanto devi dividere per 2.
b) O.K.
c) nè l'una, nè l'altra. Affinchè i risultati ti coincidano, devi moltiplicare la prima soluzione per $3$ e dividere la seconda per $2$.
Questò perchè nel primo caso ottieni dei quartetti (1-2-3-4) all'interno dei quali hai tre "primi" doppi (1-2; 1-3; 1-4). Il secondo doppio è obbligato.
Nel secondo caso ti può capitare il doppio 1-2 contro 3-4; ma anche 3-4 contro 1-2: Che è la stessa cosa. Pertanto devi dividere per 2.
Quindi la c) potrebbe essere $(((14),(2))*((12),(2)))/2$ ?
La d) invece chiedeva: se i partecipanti sono divisi in due squadre da 10 e 4 persone, quante partite fra due sfidanti si possono organizzare in modo che i partecipanti appartengano a squadre diverse? $10*4=40$, è corretto?
La d) invece chiedeva: se i partecipanti sono divisi in due squadre da 10 e 4 persone, quante partite fra due sfidanti si possono organizzare in modo che i partecipanti appartengano a squadre diverse? $10*4=40$, è corretto?
Sì. L'ultima versione della c)è corretta.
Anche la d) va bene.
Anche la d) va bene.
Se invece ho una tabella $Z$ con $6$ righe e $6$ colonne,
a) In quanti modi diversi posso riempire le caselle di $Z$ con le cifre $0,1$ ? $2^36$
b?In quanti modi diversi posso riempire le caselle con le cifre $0,1$ in modo che ci siano esattamente 4 caselle con cifra $1$?$((64),(6))$--> non ne sono molto convinto...
c)In quanti modi diversi se ogni colonna deve contente la stessa cifra(ma colonne diverse possono contenere cifre diverse)?$2^6$
d)Fissata una diagonale di $Z$, in quanti modi diversi posso riempire le caselle in modo che la tabella di cifre risultante sia simmetrica rispetto alla diagonale?$2*2^6*2^15*2$.
Dell'ultima sono per nulla convinto ma ho pensato come segue:
Ho $2$ diagonali e $2^6$ combinazioni delle cifre $0,1$.
Poi mi rimangono $15$ caselle libere sopra e 15 sotto e le possibili conbinazioni sono $2^15$ ed essendo che devono essere simmetriche ho moltiplicato per $2$...
Mah....
a) In quanti modi diversi posso riempire le caselle di $Z$ con le cifre $0,1$ ? $2^36$
b?In quanti modi diversi posso riempire le caselle con le cifre $0,1$ in modo che ci siano esattamente 4 caselle con cifra $1$?$((64),(6))$--> non ne sono molto convinto...
c)In quanti modi diversi se ogni colonna deve contente la stessa cifra(ma colonne diverse possono contenere cifre diverse)?$2^6$
d)Fissata una diagonale di $Z$, in quanti modi diversi posso riempire le caselle in modo che la tabella di cifre risultante sia simmetrica rispetto alla diagonale?$2*2^6*2^15*2$.
Dell'ultima sono per nulla convinto ma ho pensato come segue:
Ho $2$ diagonali e $2^6$ combinazioni delle cifre $0,1$.
Poi mi rimangono $15$ caselle libere sopra e 15 sotto e le possibili conbinazioni sono $2^15$ ed essendo che devono essere simmetriche ho moltiplicato per $2$...
Mah....
a) va bene.
b)non ho capito dove hai pescato quel $64$?
se ci sono esattamente quattro $1$, vuol dire che ci sono esattamente 32 $0$
$(36!)/(32!*4!)$
c) non l'ho capita!
d) non lo so.
b)non ho capito dove hai pescato quel $64$?
se ci sono esattamente quattro $1$, vuol dire che ci sono esattamente 32 $0$
$(36!)/(32!*4!)$
c) non l'ho capita!
d) non lo so.
Per la b) ho sbagliato, intendevo $((36),(4))$
Per la c) da come l'ho intuita io, se ho $3$ colonne allora il numero sulla colonna deve essere lo stesso, ma colonne diverse possono avere numeri diversi. Va bene ad esempio la matrice $((0,1,0),(0,1,0),(0,1,0))$ ma anche $((1,0,0),(1,0,0),(1,0,0))$...
Per la c) da come l'ho intuita io, se ho $3$ colonne allora il numero sulla colonna deve essere lo stesso, ma colonne diverse possono avere numeri diversi. Va bene ad esempio la matrice $((0,1,0),(0,1,0),(0,1,0))$ ma anche $((1,0,0),(1,0,0),(1,0,0))$...
c) se intendi che in ogni colonna sono o tutti $0$ o tutti $1$ allora va bene $2^6$
MAH, leggendo attentamente il testo ho capito così, mi auguro sia giusto.
Per la d) non sapresti aiutarmi?
La b) non è corretta?
Per la d) non sapresti aiutarmi?
La b) non è corretta?
per la d) non lo so.
per la b) ti ho scritto prima $(36!)/(32!*4!)$
per la b) ti ho scritto prima $(36!)/(32!*4!)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo