Esercizio Approssimazione Gaussiana
Ciao a tutti, per favore potreste aiutarmi con questo esercizio?
Un biologo è interessato a confrontare l'efficacia di due metodi per debellare batteri della carne in scatola. Dopo aver trattato un campione di carne con il metodo A e uno con il metodo B, viene selezionato un sottocampione da ciascun campione ed effettuato il conteggio delle colonie di batteri in ciascun sottocampione.
Si assume che le variabili aleatorie $ X $ e $ Y $ che descrivono il risultato del conteggio nei sottocampioni trattati, rispettivamente con il metodo A e con il metodo B, seguono una distribuzione di Poisson, con parametri $ lambda_X $ e $ lambda_Y $ .
Supponendo che il metodo più efficace sia quello che garantisce un numero di colonie di batteri inferiore di almeno 10 unità, si determini la probabilità che il metodo B sia giudicato superiore a quello A sulla base del campione estratto, posto che
$ lambda_X = lambda_Y=50 $.
Ho iniziato ponendo
$ P_A= e^-50 sum^(x) (50^(x)/(x!)) $
$ P_B= e^-50 sum^(x-10) (50^(x-10)/((x-10)!)) $
Poi $ P_A= P_B $ ma non riesco a esplicitare la $ x $ che soddisfi l'uguaglianza (da sostituire poi a $ P_b $ ).
Sicuramente sbaglio anche qualcosa nel ragionamento, vi ringrazio in anticipo!
Un biologo è interessato a confrontare l'efficacia di due metodi per debellare batteri della carne in scatola. Dopo aver trattato un campione di carne con il metodo A e uno con il metodo B, viene selezionato un sottocampione da ciascun campione ed effettuato il conteggio delle colonie di batteri in ciascun sottocampione.
Si assume che le variabili aleatorie $ X $ e $ Y $ che descrivono il risultato del conteggio nei sottocampioni trattati, rispettivamente con il metodo A e con il metodo B, seguono una distribuzione di Poisson, con parametri $ lambda_X $ e $ lambda_Y $ .
Supponendo che il metodo più efficace sia quello che garantisce un numero di colonie di batteri inferiore di almeno 10 unità, si determini la probabilità che il metodo B sia giudicato superiore a quello A sulla base del campione estratto, posto che
$ lambda_X = lambda_Y=50 $.
Ho iniziato ponendo
$ P_A= e^-50 sum^(x) (50^(x)/(x!)) $
$ P_B= e^-50 sum^(x-10) (50^(x-10)/((x-10)!)) $
Poi $ P_A= P_B $ ma non riesco a esplicitare la $ x $ che soddisfi l'uguaglianza (da sostituire poi a $ P_b $ ).
Sicuramente sbaglio anche qualcosa nel ragionamento, vi ringrazio in anticipo!
Risposte
1) non è un quesito di inferenza ma di calcolo delle probabilità
2) calcolare quanto richiesto senza specificare che le variabili sono indipendenti non è possibile
3) per risolvere il problema, supposta l'indipendenza, occorre calcolare la seguente quantita
$sum_(x=10)^(oo)e^(-50)50^x/(x!)sum_(y=0)^(x-10)e^(-50)50^y/(y!)$
Non sono un matematico e quindi lascio a te (o ad altri) le operazioni con le serie. Io, se dovessi risolvere, farei così:
Posto $W=Y-X$
abbiamo che W si distribuisce come una Skellam di media zero e varianza 100 che, come puoi vedere, diventa presto una gaussiana e quindi
$mathbb{P}[W<=-10]=Phi(-0.95)~~17.1%$
2) calcolare quanto richiesto senza specificare che le variabili sono indipendenti non è possibile
3) per risolvere il problema, supposta l'indipendenza, occorre calcolare la seguente quantita
$sum_(x=10)^(oo)e^(-50)50^x/(x!)sum_(y=0)^(x-10)e^(-50)50^y/(y!)$
Non sono un matematico e quindi lascio a te (o ad altri) le operazioni con le serie. Io, se dovessi risolvere, farei così:
Posto $W=Y-X$
abbiamo che W si distribuisce come una Skellam di media zero e varianza 100 che, come puoi vedere, diventa presto una gaussiana e quindi
$mathbb{P}[W<=-10]=Phi(-0.95)~~17.1%$
Ciao, grazie per la veloce risposta.
Supponendo siano variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, è possibile usare il teorema del limite centrale?
Il risultato finale è:
$ 1-phi _(-1)= 0,15866 $
quindi è stata usata l'approssimazione alla normale ma non riesco a capirne il motivo e la tipologia di calcolo per arrivare a phi _(-1)
Il valore atteso e la varianza di somma di Poisson sono entrambi $ nlambda $ , corretto?
Supponendo siano variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, è possibile usare il teorema del limite centrale?
Il risultato finale è:
$ 1-phi _(-1)= 0,15866 $
quindi è stata usata l'approssimazione alla normale ma non riesco a capirne il motivo e la tipologia di calcolo per arrivare a phi _(-1)
Il valore atteso e la varianza di somma di Poisson sono entrambi $ nlambda $ , corretto?
1) $Phi(-1)=1-Phi(1)=0.1587$ è una cattiva approssimazione. La mia $Phi(-0.95)=0.171$ è un'approssimazione migliore perché ho usato l'approssimazione gaussiana con un opportuno fattore di correzione. Sul perché e su come arrivare a tale approssimazione ti rimando al libro di testo o anche ai numerosi topic già presenti sul forum
2) sì ma non vedo a cosa possa servire
2) sì ma non vedo a cosa possa servire
Ok grazie, ho risolto come hai detto cioè usando Skellam standardizzata con fattore di correzione da variabile aleatoria discreta a continua.
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