Esercizio allergie e test.
Ciao 
Ho questo piccolo esercizio di Probabilità.
Dovrebbe essere semplice, ma mi serve giusto per imparare a formalizzare un po' di cose.
Per iniziare, un po' di notazione:\begin{align*}
& \Omega :=\text{popolazione testata} \\
& M := \left\{ x \in \Omega \mid x \text{ è allergico} \right\} \\
& T := \left\{ x \in \Omega \mid x \text{ è positivo al test} \right\}
\end{align*} e \(p : 2^\Omega \to [0, 1]\) è la misura di probabilità in questione. Detto questo, ho allora \(\alpha = p(T|M)\), \(\beta = p(T^c|M^c)\) e \(p(M) = \pi\).
(a) Devo calcolare \(p(T)\): \begin{align*}
p(T) & = p(T \cap M) + p(T \cap M^c) = \\
& = p(T|M)p(M) + p(T|M^c)p(M^c) = \\
& = p(T|M)p(M) + (1-p(T^c|M^c))(1-p(M)) = \\
& = \alpha \pi + (1-\beta)(1-\pi)\,.
\end{align*} Qui, le cose all'ultimo mebro sono tutte note.
(b) Devo calcolare \(p(M^c)\). Facile: \(p(M^c) = 1-p(M) =1-\pi\).
(c) Devo calcolare \(p(M^c|T^c)\):\begin{align*}
p(M^c|T^c) & = \frac{p(M^c \cap T^c)}{p(T^c)} = \\
& = \frac{p(T^c|M^c)(1-p(M))}{1-p(T)} = \\
& = \frac{\beta(1-\pi)}{1-\alpha\pi-(1-\beta)(1-\pi)} \,.
\end{align*}
(d) \(\displaystyle p(M^c|T) = 1-p(M|T) = 1-\frac{p(T|M)p(M)}{p(T)} = 1-\frac{\alpha\pi}{\alpha\pi+(1-\beta)(1-\pi)}\).
(e) L'evento in esame è \((T \cap M^c) \cup (T^c \cap M)\). Essendo i due pezzi da unire disgiunti, ho che \begin{align*}
p\left((T \cap M^c) \cup (T^c \cap M)\right) & = p(T \cap M^c) + p(T^c \cap M) = \\
& = (1-p(T^c|M^c))(1-p(M)) + \left(1-p(T|M)\right)p(M) = \\
& = (1-\beta)(1-\pi)+(1-\alpha)\pi \,.
\end{align*}
(f) Questo pezzo non saprei come farlo. Voglio non so come rappresentarmi la situazione in una maniera opportuna. Potrei pensare che incapsulare le informazioni che mi servono in una terna tipo: \[(\text{soggetto testato}, \text{primo esito}, \text{secondo esito})\] però non saprei che farmene. Un aiuto?
Ho questo piccolo esercizio di Probabilità.
Un test clinico individua la presenza di una certa allergia su soggetti che ne sono realmente affetti con probabilità pari ad \(\alpha \in (0, 1)\). D’altra parte un soggetto sano viene riconosciuto tale dal suddetto test con probabilità pari a \(\beta \in (0, 1)\). Se si assume che l’allergia in questione si presenta su un generico paziente con probabilità \(\pi \in (0, 1)\), calcolare in funzione di \(\alpha, \beta, \pi\) la probabilità che:
(a) il test segnali l’allergia su un generico paziente;
(b) un generico paziente sia sano;
(c) un generico paziente sia sano nell’ipotesi che il test lo abbia individuato come tale;
(d) un generico paziente sia sano nell’ipotesi che il test lo abbia individuato come malato;
(e) il test commetta un’errore;
(f) un generico paziente sia sano nell’ipotesi che egli si sia sottoposto due volte al test e che per due volte il test lo abbia individuato come sano. Per questo punto, si assuma che i risultati delle due prove siano indipendenti rispetto alla probabilità condizionata a ciascuno stato del paziente.
Dovrebbe essere semplice, ma mi serve giusto per imparare a formalizzare un po' di cose.
Per iniziare, un po' di notazione:\begin{align*}
& \Omega :=\text{popolazione testata} \\
& M := \left\{ x \in \Omega \mid x \text{ è allergico} \right\} \\
& T := \left\{ x \in \Omega \mid x \text{ è positivo al test} \right\}
\end{align*} e \(p : 2^\Omega \to [0, 1]\) è la misura di probabilità in questione. Detto questo, ho allora \(\alpha = p(T|M)\), \(\beta = p(T^c|M^c)\) e \(p(M) = \pi\).
(a) Devo calcolare \(p(T)\): \begin{align*}
p(T) & = p(T \cap M) + p(T \cap M^c) = \\
& = p(T|M)p(M) + p(T|M^c)p(M^c) = \\
& = p(T|M)p(M) + (1-p(T^c|M^c))(1-p(M)) = \\
& = \alpha \pi + (1-\beta)(1-\pi)\,.
\end{align*} Qui, le cose all'ultimo mebro sono tutte note.
(b) Devo calcolare \(p(M^c)\). Facile: \(p(M^c) = 1-p(M) =1-\pi\).
(c) Devo calcolare \(p(M^c|T^c)\):\begin{align*}
p(M^c|T^c) & = \frac{p(M^c \cap T^c)}{p(T^c)} = \\
& = \frac{p(T^c|M^c)(1-p(M))}{1-p(T)} = \\
& = \frac{\beta(1-\pi)}{1-\alpha\pi-(1-\beta)(1-\pi)} \,.
\end{align*}
(d) \(\displaystyle p(M^c|T) = 1-p(M|T) = 1-\frac{p(T|M)p(M)}{p(T)} = 1-\frac{\alpha\pi}{\alpha\pi+(1-\beta)(1-\pi)}\).
(e) L'evento in esame è \((T \cap M^c) \cup (T^c \cap M)\). Essendo i due pezzi da unire disgiunti, ho che \begin{align*}
p\left((T \cap M^c) \cup (T^c \cap M)\right) & = p(T \cap M^c) + p(T^c \cap M) = \\
& = (1-p(T^c|M^c))(1-p(M)) + \left(1-p(T|M)\right)p(M) = \\
& = (1-\beta)(1-\pi)+(1-\alpha)\pi \,.
\end{align*}
(f) Questo pezzo non saprei come farlo. Voglio non so come rappresentarmi la situazione in una maniera opportuna. Potrei pensare che incapsulare le informazioni che mi servono in una terna tipo: \[(\text{soggetto testato}, \text{primo esito}, \text{secondo esito})\] però non saprei che farmene. Un aiuto?
Risposte
Le tue risposte non dovrebbero contenere $\alpha$, $\beta$ e $\pi$?
Ho modificato il post precedente.
"kaspar":
(f) Questo pezzo non saprei come farlo.
Qual è la probabilità di risultare sano due volte se sei sano? E se sei malato?
tutto ok
(f)
(f)
$\mathbb(P)(S|T^(--))=(beta^2(1-pi))/((1-alpha)^2pi+beta^2(1-pi))$
Ciao. Nel frattempo ho cercato di fare un esercizio dello stesso tipo e di confrontarmi con qualche compagno. Il punto è che intuitivamente ci arrivo al risultato giusto, ma ho roblemi a formalizzare il ragionamento. Ho provato a seguire l'idea che avevo già proposto nel mio ultimo post. \[\Gamma := \{ (x, R_1, R_2) \mid x \in M^c, R_1, R_2 \in \{T, T^c\} \}\] e rappresentare l'evento di cui voglio la probabilità con \[E := \underbrace{\{ (x, R_1, R_2) \in \Gamma \mid R_1 = T^c \}}_{E_1} \cap \underbrace{\{ (x, R_1, R_2) \in \Gamma \mid R_2 = T^c \}}_{E_2} .\] Ora, \(E_1\) e \(E_2\) sono per ipotesi indipendenti, e mi viene da dire che \[p(E_1) = p(E_2) = p(M^c|T^c)\] Avrei quindi \(p(E) = p(E_1)p(E_2)\), cioè il risultato di tommik.
Modifica: no, non è vero che il risultato è lo stesso.
Modifica: no, non è vero che il risultato è lo stesso.
"kaspar":
Modifica: no, non è vero che il risultato è lo stesso.
Ma cosa stai calcolando?
scusa se mi intrometto @kaspar ma che differenza trovi fra il punto c) e il f)? sono esattamente la stessa cosa, solo che nel f) si fanno DUE test consecutivi indipendenti mentre nel punto c) soltanto UNO
Nel punto c) hai trovato
Lo hai scritto tu eh...il risultato giusto (anche se non hai terminato il raccoglimento a fattor comune)
Io per fare il punto f) ho semplicemente messo $beta^2$ e $(1-alpha)^2$ al posto di $beta$ e $(1-alpha)$ dato che si fanno due test consecutivi con lo stesso risultato invece di uno...
Nel punto c) hai trovato
$\mathbb(P)(S|T^(-))=(beta(1-pi))/((1-alpha)pi+beta(1-pi))$
Lo hai scritto tu eh...il risultato giusto (anche se non hai terminato il raccoglimento a fattor comune)
Io per fare il punto f) ho semplicemente messo $beta^2$ e $(1-alpha)^2$ al posto di $beta$ e $(1-alpha)$ dato che si fanno due test consecutivi con lo stesso risultato invece di uno...
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